وفي استباق للأحداث قبل حدوثها، تعزى الغرابة الشديدة للانهائية رياضيا، التي قضى جاليليو وقتا طويلا في كتابه «علمان جديدان» في إعطاء أمثلة عليها، إلى نظرية المعرفة وليس الميتافيزيقا. وطبقا للناطق بلسان جاليليو جاليلي، فإن المفارقات لا تنشأ إلا «عندما نحاول، بعقولنا المتناهية المحدودة، مناقشة اللامتناهي، بأن نخلع عليه تلك الخصائص التي نمنحها للمتناهي والمحدود.» وأبلغ مثال على ذلك هو مفارقة جاليليو في الجزء (1)، التي يمكنك فيها - حسبما تذكر - إيجاد تناظر أحادي بين كل الأعداد الصحيحة وكل المربعات الكاملة لها حتى لو كان من الواضح أن الأعداد الصحيحة أكثر بكثير من المربعات الكاملة.

13

ومن هذه المعلومة المهمة، استنتج جاليليو ما يلي: «علينا أن نقول إن هناك مربعات بقدر ما هناك أعداد.» ومن ثم (مرة أخرى) فإن «السمات «يساوي » و«أكبر» و«أصغر» لا يمكن تطبيقها على غير المحدود أو اللامتناهي، وإنما فقط على الكميات المحدودة أو المنتهية.» وعلى الرغم من أنه تبين عدم صحة هذا الاستنتاج الأخير، فإن كتاب جاليليو «علمان جديدان» ما زال أول توجه حديث حقا نحو التعامل مع اللانهائيات الفعلية بوصفها كيانات رياضية. لاحظ، على سبيل المثال، أن جاليليو لم يتنصل من أسلوب أرسطو القديم في برهنة القضية بإثبات فساد نقيضها، أو البرهان بنقض الفرض، واستنتج من سلوك المجموعات غير المنتهية المتناقض أن اللانهائية لا يمكن تبريرها أو تعليلها منطقيا. وبدلا من ذلك، نجح إلى حد ما في أن يسبق كلا من كانط (بأن يرجع السبب في مفارقات اللانهائية إلى القيود الراسخة ل «العقول المتناهية المحدودة» بدلا من أي حقيقة خارج العقل) وكانتور (عن طريق استخدام تناظر أحادي كمقياس نسبي للمجموعات، بزعم أن الكميات غير المنتهية تتبع نوعا من الحساب يختلف عما تتبعه الكميات المنتهية، وهكذا).

حقيقة معروفة: شهد القرن السابع عشر، من خلال حركة الإصلاح المضاد والثورة العلمية، أول طفرة حقيقية في مسار فلسفة الرياضيات منذ ذروة العصر الهلنستي. وهذا هو القرن الذي شهد اختراع الهندسة الإحداثية (وكذلك الشك الراديكالي) على يد ديكارت، واختراع الهندسة الإسقاطية على يد ديزارج، والتجريبية على يد لوك، ورياضيات التعليم الجامعي على يد نيوتن ولايبنتس. وما كان شيء من هذا ليكون ممكنا لولا تخفيف قبضة الهيمنة الأرسطية على الفكر الغربي. وفيما يتعلق بكسر السيطرة، هناك كتاب «علمان جديدان» لجاليليو، بالإضافة إلى «مقال عن المنهج» لديكارت وكتاب «الأورجانون الجديد» أو «التوجيهات الصحيحة لتفسير الطبيعة» لبيكون، وليس من قبيل المصادفة على الإطلاق أن جزءا كبيرا من وقته كان مكرسا للانهائية. ومن بين مجموعة كاملة من الاقتباسات الداعمة والملائمة هنا، انظر اقتباسا للبروفيسور تي دانزيج يقول فيه: «عندما تخلص الفكر الأوروبي، بعد سبات دام ألف عام، من تأثير الحبوب المنومة التي برع الآباء المسيحيون في إعطائهم إياها بمهارة، كانت مسألة اللانهائية من أولى المسائل التي جرى إحياؤها.»

وثمة اتجاه آخر تتجلى فيه أهمية كتاب «علمان جديدان»، وهو استخدامه المثبت والمستحدث للدالة. لا بد أنك تذكر بالتأكيد مفهوم الدالة في الرياضيات، والسبب في صعوبة تعريفها بوضوح (كالحال، على سبيل المثال، عندما نقول إنها «علاقة بين متغيرات»، أو «قاعدة لتحديد صورة مجال»، أو «تخطيط»). تكون الدالة أعلى من المتغيرات بمستوى تجريد واحد على الأقل، حيث إنها بالأساس قاعدة لربط عناصر في مجموعة ما مع عناصر في مجموعة أخرى. لنفترض هنا أننا جميعا على دراية إلى حد كبير بمعنى الدالة، أو بالأحرى بوظيفتها، حيث إن الدالة هي في حقيقة الأمر إجراء من نوع ما رغم أن ترميزا مثل « » يجعلها تبدو كما لو كانت شيئا. بيانيا على الأقل، كانت فكرة الدالة متداولة بعض الشيء منذ أورسمه في القرن الرابع عشر، على الرغم من أن لأورسمه مصطلحات سكولاستية، وأطلق على أسلوبه اسم «خط عرض الأشكال»، حيث كلمة «شكل» هي مصطلح أرسطو للسمات أو الصفات، التي كان يرى أنها تشمل أشياء مثل سرعة جسم متحرك. ولم يكن الناس ليفهموا، حتى جاليليو، أن السرعة ليست صفة للأشياء المتحركة، ولكنها بالأحرى عملية مجردة يمكن تمثيلها من خلال الدالة البسيطة ، كالحال تماما (أعلى بمستوى تجريد واحد) في أن جاليليو جاليلي كان هو من حدد أن العجلة تعمل كدالة .

كتاب «علمان جديدان» هو أول كتاب رياضيات استخدم بكثافة الدوال دون شكلها البياني، رغم أن الدوال هنا وصفت لفظيا وغالبا (على غرار الإغريق) بدلالة التناسبات والنسب. ومما يسترعي الانتباه هنا السرعة التي برز بها مفهوم أو نظرية الدوال، وحاز رواجا عندما توفرت بعض المتطلبات المهمة ومجموعة من الظروف المواتية.

14

تضمنت معظم هذه المتطلبات مبدأ الاتصال. وأهم ما في الموضوع هنا أن علم الفلك لدى كيبلر ودراسات جاليليو عن الحركة - التي حفزتها إلى حد كبير الحاجة إلى طريقة محسنة لضبط الوقت في الملاحة (وهو ما يطول شرحه أيضا) - أوجدت الدافع لإجراء دراسة دقيقة للمنحنيات، تلك المنحنيات التي أتاح مستوى الإحداثيات الديكارتية التعبير عنها جبريا، كالحال مثلا في دوال مثل ، و ، وهكذا. استخلصت الفروق المهمة بين الدوال الكثيرة الحدود والجبرية والمتسامية

15

بسهولة من تصنيفات ديكارت للمنحنيات، وكذلك من التمثيلات الصريحة للدوال باستخدام أنواع مختلفة من المتسلسلات بعد ذلك بقليل (= حوالي عام 1670). بالمناسبة، جاءت كلمة «دالة» نفسها من جي دبليو لايبنتس.

ناپیژندل شوی مخ