46

التي كانت هيمنتها على مدى القرون العديدة التالية تعني أن الرياضيات لدى الإغريق قد فقدت كثيرا من الأهمية والزخم على مدى فترة طويلة. ومع ذلك، كان السبب الأكثر تأثيرا هو أرسطو، الذي لم يدم تأثيره بالطبع لفترات فاقت روما فحسب، ولكنه أيضا بلغ آفاقا جديدة مع انتشار المسيحية والكنيسة في الفترة ما بين عامي 500 قبل الميلاد و1300 قبل الميلاد تقريبا. وأهم ما في هذا الموضوع أن مذهب أرسطو أصبح عقيدة الكنيسة، وكان جزء من مذهب أرسطو هو رفض اللانهائية على أنها احتمالية فقط، وخيال مجرد، ومصدر للارتباك، وغير محدودة، واختصاص الإله وحده، وهكذا. وسادت وجهة النظر الأساسية هذه حتى العصر الإليزابيثي.

نهاية «جزء تكميلي لا يمكن تخطيه، ولكنه يتضمن معلومات إضافية بالأساس»

الجزء 2(ه) (تكملة للمواضع المميزة بعلامات نجمية في الفقرة الأخيرة من الجزء 2(ج) السابق)

نستهل الحديث هنا - كنوع من المشهيات - ببعض الأمور التي اكتشفها جي كانتور

47

في النهاية بشأن لا نهائيات زينون ويودوكسوس المتداخلة. واكتشافه إياها لا يعني فقط إيجادها ولكن إثباتها فعليا. خط الأعداد - كما هو واضح - لا متناهي الطول ويحتوي على عدد لا نهائي من النقاط. ومع ذلك، يوجد العديد من النقاط في الفترة من صفر إلى واحد، كما هو الحال في خط الأعداد بالكامل. وفي الحقيقة، يوجد العديد من النقاط في الفترة

كما هو الحال في خط الأعداد بالكامل. ويتضح أيضا أنه يوجد عدد مماثل من النقاط في الفترة الصغيرة جدا أعلاه (أو في فترة مقدارها واحد على كوادريليون، إذا أردت) كالحال في المستوى الثنائي الأبعاد - حتى إذا كان المستوى كبيرا على نحو لا متناه - أو في أي شكل ثلاثي الأبعاد، أو في كل الفضاء الثلاثي الأبعاد اللامتناهي في حد ذاته.

بالإضافة إلى ذلك، نعلم أنه يوجد عدد لا نهائي من الأعداد النسبية على خط الأعداد اللامتناهي، و(بفضل زينون) فإن هذه الأعداد النسبية ذات كثافة لا نهائية على خط الأعداد حيث لا يوجد حرفيا لأي عدد نسبي معطى عدد نسبي تال؛ أي إنك يمكنك دائما أن تجد عددا ثالثا بين أي عددين نسبيين على خط الأعداد. وفيما يلي إيضاح موجز لهذه الحقيقة. افترض أن لديك أي عددين نسبيين مختلفين

و . بما أنهما مختلفان، فإن ، وهو ما يعني أن أحدهما أكبر من الآخر. لنفترض - مثلا - أن . هذا يعني أن على خط الأعداد مسافة ما على الأقل يمكن قياسها، مهما كانت صغيرة، بين

ناپیژندل شوی مخ