مقدارا معطى و

نسبة بحيث يكون ، فإن نهاية

هي صفر عندما تقترب

من - مثل . هذا وهذا يتيح لك الاقتراب على نحو بالغ ودقيق من عدد لا نهائي من الأضلاع في حالة المضلع، أو من عدد لا نهائي من المستطيلات تحت منحنى، حيث يكون كل ضلع أو مستطيل صغيرا للغاية (= على نحو متناه)، ثم يتيح لك جمع أطوال الأضلاع أو المساحات ذات الصلة بتطبيق عكس العملية المستخدمة لحسابها. تعد طريقة الاستنفاد، بكل الأشكال، مثالا جيدا على حساب التكامل القديم. ومن خلالها، استطاع يودوكسوس أن يثبت - على سبيل المثال - أن النسبة بين مساحتي أي دائرتين تساوي النسبة بين مربعي نصفي قطريهما، وأن حجم أي مخروط يساوي

حجم الأسطوانة المشتركة معه في القاعدة والارتفاع، وهكذا. كما استخدم أرخميدس الاستنفاد في كتابه «قياس دائرة» للحصول على تقريب جيد على نحو غير مسبوق ل

وهو: .

لاحظ أيضا البراعة الميتافيزيقية للكيانات المجردة للاستنفاد. لا تزعم طريقة يودوكسوس في إدخال الأضلاع أو الأشكال المتناهية في الصغر في معادلات وجود مقادير صغيرة على نحو لا متناه. لاحظ اللغة البسيطة للخاصية الأولى في كتاب «الأصول» أعلاه. فعبارة «أقل من أي مقدار معين مسبقا.» ملائمة جدا، ومماثلة تماما لعبارة «كبير/صغير على نحو نسبي.» في التحليل الحديث.

45

وهذا بما معناه أنه، وفقا للأغراض الرياضية، يمكنك التوصل إلى مقادير صغيرة قدر ما تريد، وتتعامل معها. وهذا التخوف الخاص بالطريقة نفسها ونتائجها، وليس الأنطولوجيا، هو ما يضفي على يودوكسوس وأرخميدس طابع الحداثة على نحو غريب. فالطريقة التي صيغت بها «المقادير الأصغر من أي من مقادير معينة مسبقا.» واستخدمت في الاستنفاد مطابقة تماما للطريقة التي سوف تعالج بها المتناهيات في الصغر في بدايات حساب التفاضل والتكامل.

إذن، السبب الذي اضطرت أوروبا من أجله أن تنتظر تسعة عشر قرنا لظهور حساب التفاضل والتكامل الفعلي والهندسة التفاضلية والتحليل هو مسألة يطول شرحها كثيرا، لكنها تؤيد بالأساس مقولة راسل. وأحد هذه الأسباب هو نفسه السبب الذي حال دون التفكير في تطبيق الاستنفاد على التقسيم الثنائي لزينون: لم يهتم الإغريق سوى بالهندسة، ومن ثم لم يفكر أحد في الحركة/الاتصال على أنهما مفهومان قابلان للتجريد يمكن إدخالهما في هندسة خط الأعداد. وسبب آخر هو مدينة روما، كالحال مثلا في الإمبراطورية، التي أدى نهبها لمدينة سرقوسة (أو سيراكيوز) وقتل أرخميدس عام 212 قبل الميلاد تقريبا إلى نهاية مفاجئة للرياضيات لدى الإغريق،

ناپیژندل شوی مخ