43 - نطاقا لمجموعة غير منتهية بأكملها. وفي هذا الصدد، يمكن أن نعتبر هذا أول نتيجة ذات دلالة في نظرية المجموعات، قبل وضع نظرية المجموعات بما يقرب من 2300 عام.

كما تجدر الإشارة إلى أنه لا توجد على الأرجح أمثلة في الرياضيات على ما قاله راسل عن نزوة الشهرة الفكرية أفضل من يودوكسوس ومساعده أرخميدس المولود بعده (287-212 قبل الميلاد). فقد اشتهر الأخير بكلمته «أوريكا، أوريكا»؛ أي «وجدتها، وجدتها»، ولكن بالنظر إلى أهدافنا الكلية سيكون من غير المنصف ألا نقر بأن أرخميدس ويودوكسوس قد اخترعا رياضيات حديثة نوعا ما، والتي أعيد اختراعها على مدى قرون عديدة لاحقا؛ لأن أحدا لم يكلف نفسه عناء الانتباه إلى التبعات المترتبة على نتائجهما.

يعرف أهم اختراع لهما على الأرجح باسم «خاصية الاستنفاد»، التي اكتشفها يودوكسوس ونقحها أرخميدس. وكانت عبارة عن طريقة لحساب مساحات وحجوم الأسطح والأشكال المنحنية، وهي أمر من الواضح أن الهندسة الإغريقية قد واجهت صعوبة كبيرة في التعامل معه (حيث إن معظم مشكلات الاتصال والأعداد غير النسبية التي تصادفها تتعلق بالمنحنيات). كان لدى علماء الهندسة السابقين على يودوكسوس فكرة تقريب مساحة شكل منحن عن طريق مقارنتها مع مضلعات منتظمة

44

والتي يمكنهم حساب مساحاتها بدقة. على سبيل المثال، لاحظ كيف أن أكبر مربع يمكن رسمه داخل دائرة يكون بمثابة تقريب بسيط لمساحة الدائرة.

بينما نجد مثلا أن مساحة أكبر شكل ثماني الأضلاع يمكن رسمه داخل دائرة سيكون تقريبا أفضل بعض الشيء.

وهكذا، الفكرة هي أنه كلما زاد عدد أضلاع المضلع الداخلي، كانت مساحته أقرب إلى مساحة الدائرة

نفسها. والسبب في أن هذه الطريقة لم تفلح أبدا في واقع الأمر أنك تحتاج إلى مضلع بعدد لا نهائي من الأضلاع لتحديد المساحة بشكل كامل، وحتى لو كان هذا العدد اللانهائي مجرد واحدة من القيم اللانهائية الاحتمالية لدى أرسطو، فإن الإغريق سيظلون في وضع حرج، لنفس السبب المذكور بخصوص التقسيم الثنائي: لم يكن لديهم مفهوم التقارب إلى نهاية. أدخل يودوكسوس هذا المفهوم في الرياضيات في مقدمته إلى «خاصية الاستنفاد»، التي وردت باسم «الخاصية الأولى» في الجزء العاشر من كتاب «الأصول».

إذا طرحنا جزءا من أي مقدار لا يقل عن نصف المقدار نفسه، وإذا طرحنا مرة أخرى من المتبقي ما لا يقل عن نصفه، وإذا استمرت عملية الطرح هذه، فسوف يتبقى في النهاية مقدار أقل من أي مقدار معين مسبقا من نفس النوع.

في أسلوب الترميز الحديث، يكافئ هذا قولنا إنه إذا كان

ناپیژندل شوی مخ