يمكنك على الأرجح أن ترى كيف سيكون لهذا كله مدلوله فيما يخص التقسيم الثنائي. ولكنه، مرة أخرى، مراوغ بعض الشيء. فالقياس على التمثال والساعة 6:54 لن يجدي كثيرا هنا. نعم، المسافة

و/أو مجموعة كل المسافات الجزئية أو كل النقاط بين

و

ليست «غير متناهية فعليا» ولكنها فقط «غير متناهية احتماليا»، ولكن المفهوم الذي كان يعنيه أرسطو بقوله إن «

غير متناهية احتماليا»، يكون أقرب - على سبيل المثال - إلى فكرة دقة القياس اللامتناهية. وهو ما يمكن شرحه وتوضيحه على النحو التالي. يبلغ طول ابنة أخي الكبرى الآن 38,5 بوصة، وهو ما يمكن التعبير عنه على نحو أكثر دقة بالقيمة 38,53 بوصة؛ وفي وجود بيئة أكثر تحكما وأدوات متطورة، يمكن تأكيده على نحو أدق بكثير باستخدام المنزلة العشرية الثالثة أو الحادية عشرة أو المنزلة العشرية لعدد

من المرات، حيث ، من المحتمل أن تكون لا نهائية - ولكن من المحتمل أن تكون لا نهائية فقط؛ لأن في العالم الحقيقي لن توجد أي وسيلة لتحقيق الدقة غير المتناهية الحقيقية، حتى إن أمكن هذا «من حيث المبدأ». وبهذه الطريقة نفسها تقريبا، تعتبر

من وجهة نظر أرسطو قابلة للتقسيم «من حيث المبدأ» عددا لا نهائيا من المرات، بيد أن هذا التقسيم اللانهائي أو غير المتناهي لا يمكن تنفيذه فعليا في العالم الحقيقي.» (معلومة إضافية: ملمح أخير من التعقيد: في الغالب، ما يسميه أرسطو «عددا» (أي، الكميات الرياضية بصفة عامة) يكون فيما يبدو غير متناه احتماليا، ليس على النحو الذي يكون به القياس غير متناه احتماليا، ولكن على النحو الذي تكون به مجموعة كل توقيتات الساعة 6:54 صباحا لا نهائية احتماليا. على سبيل المثال، مجموعة كل الأعداد الصحيحة تكون غير منتهية احتماليا؛ بمعنى أنه لا يوجد عدد صحيح أكبر (في اتجاه الكبر، يمكن دائما التفكير في عدد أكبر)، ولكنها ليست في الواقع غير منتهية؛ لأن المجموعة لا توجد على هيئة كيان واحد مكتمل. بعبارة أخرى، الأعداد عند أرسطو تتألف من متوالية مستمرة: يوجد الكثير من الأعداد على نحو غير متناه، ولكنها لا توجد جميعا معا على نحو متزامن «الشيء الواحد يمكن أن يفضي إلى شيء آخر إلى ما لا نهاية».)

وتفنيدا للقسمة الثنائية لزينون، فإن التمييز بين اللانهائية الاحتمالية في مقابل اللانهائية الفعلية غير مقنع على الإطلاق - ومن الواضح أنه غير مقنع حتى لأرسطو، الذي يبدو أن من الممكن رفض حجته المعروفة باسم «الرجل الثالث» لكونها غير متناهية احتماليا فحسب. ولكن، في نهاية المطاف، اتضح أن التمييز مهم للغاية للرياضيات على مستوى النظرية والتطبيق. والفكرة باختصار أن إحالة اللانهائية إلى حالة الاحتمالية قد سمح للرياضيات الغربية بطرح الكميات غير المنتهية أو على الأقل تبرير استخدامها، أو أحيانا كلا الأمرين معا، حسب ما هو مطلوب. الموضوع كله غريب جدا؛ فمن جهة، أعطت حجة أرسطو مصداقية لرفض الإغريق لفكرة اللانهائية و«حقيقة» المتسلسلات غير المنتهية، وكان ذلك سببا رئيسيا أنهم لم يضعوا ما نعرفه الآن باسم حساب التفاضل والتكامل. ومن جهة أخرى، فإن إسباغ وجود مجرد أو نظري على الأقل، على الكميات غير المنتهية، قد سمح لبعض علماء الرياضيات الإغريق باستخدامها في أساليب أقرب، على نحو ملحوظ، إلى حساب التفاضل والتكامل، قريبة جدا لدرجة أنه من المستغرب وقتها أن الأمر استغرق 1700 عام لوضع حساب التفاضل والتكامل الحقيقي. ولكن، بالرجوع إلى الملمح الأول، كان السبب الرئيسي في أن الأمر استغرق 1700 عام هو مفهوم الاحتمالية لأرسطو الذي كان يحمل ظلالا ميتافيزيقية، والذي نبذت فيه اللانهائية، وهو ما أجاز حساسية الرياضيات تجاه مفهوم لا يمكن حقا معالجته بأي حال من الأحوال.

إلا أنه - من جهة أخرى أو ما أصبح الآن جهة ثالثة

23 - عندما قدم كل من جي دبليو لايبنتس وآي نيوتن حساب التفاضل والتكامل الحقيقي حوالي عام 1700، فإن مفاهيم أرسطو الميتافيزيقية هي بالأساس التي بررت استخدامهما لمتناهيات الصغر، على سبيل المثال،

ناپیژندل شوی مخ