هو النسبة المشتركة، وأن

هنا يساوي ، وكذلك ، و ، ويتضح في هذه الحالة أن من الممكن عبور الطريق ولمس الأنف دون مشاكل، ومن ثم يكون التقسيم الثنائي مجرد مسألة كلامية صعبة وليس مفارقة على الإطلاق، اللهم إلا الحضارات التي كانت على درجة كبيرة جدا من البدائية والتخلف لم تمكنها من معرفة صيغة إيجاد مجموع متسلسلة هندسية.

ولو لم يكن هذا الرد كافيا، فلننح جانبا الآن موضوع ما إذا كانت الحجة صحيحة تقنيا أم لا. فما يهم حقا أنها بسيطة؛ فهي تمثل ما يطلق عليه الفلاسفة نظرة قاصرة لمسألة زينون. فمن أين نتأكد أن

صيغة صحيحة لإيجاد مجموع هذه المتسلسلة الهندسية؟ أي هل هذه الصيغة مجرد جزء من الدلالات الصارمة الموضوعة لتحديد معضلات بعينها من الوجود، أو هل هي ذات دلالة رياضية بمفهوم هاردي لمصطلح «ذات دلالة»؟ وكيف نحدد أيهما تكون هي؟

من الغريب أنه كلما كانت الرياضيات التي درستها أكثر معيارية ونظامية، كان من الأصعب أن تتفادى الإجابة بأسلوب قاصر. كما في حالة التحقق، على سبيل المثال، من صحة

بملاحظة أن المتسلسلة الهندسية ذات الصلة هنا هي نوع فرعي معين من المتسلسلة غير المنتهية المتقاربة طبقا لأفضل مفاهيم حساب التفاضل والتكامل (2)،

8

وأن مجموع هذه المتسلسلة يحدد على أنه نهاية متتابعة المجاميع الجزئية للمتسلسلة (أي إنه إذا كانت المتتابعة

من المجاميع الجزئية للمتسلسلة تقترب من نهاية ما ، فإن

هي مجموع المتسلسلة)، وهذا بالتأكيد فيما يخص المتسلسلة أعلاه ، ومن ثم فإن

ناپیژندل شوی مخ