16

9

4

1

ومن ثم، فإن النتيجة المترتبة على مفارقة جاليليو هي أن مسلمة إقليدس الخامسة - وهي جزء لا يتجزأ من الرياضيات الأساسية، ناهيك عن كل حقيقة واضحة يؤكدها كل نوع فريد من المجموعات يمكن أن نراها أو نعدها - تتعارض مع المجموعات غير المنتهية من جميع الأعداد الصحيحة وجميع المربعات الكاملة. بالنظر إلى هذه الحالة، نجد أن هناك طريقين يمكن سلكهما. الطريق القياسي، كما ذكرنا، هو توضيح أن المجموعات غير المنتهية هي المكافئ الرياضي لوحيد القرن أو ال «لا شيء»، الذي تراه أليس على الطريق.

26

أما الطريق الآخر - الذي هو تغيير جذري على المستوى الذهني والنفسي - فهو التعامل مع التكافؤ المتناقض لجاليليو ليس باعتباره تعارضا ولكن باعتباره وصفا لكيان رياضي من نوع جديد بعينه، فهو مجرد وغريب للغاية، حتى إنه لا يتوافق مع قواعد الرياضيات المعتادة، ويتطلب معالجة خاصة. ومثال ذلك أن تقول (حسبما قال واضع العبارة، لك أن تخمن من يكون) إن «الخلل الأساسي في جميع البراهين المزعومة لاستحالة الأعداد غير المنتهية هو أن هذه البراهين تمنح هذه الأعداد جميع خصائص الأعداد المنتهية، في حين أن الأعداد غير المنتهية ... تشكل نوعا جديدا تماما من الأعداد، نوعا ينبغي أن تكون طبيعته وماهيته موضع بحث بدلا من التحامل التعسفي المجحف.»

ولكن، على الجانب الآخر، قد لا يكون هذا الرأي بمثابة تغيير جذري ولكنه محض هراء ولا يمت للمعقول بصلة.

27

وذلك مثل أن تأخذ حقيقة أن أحدا لم ير أبدا وحيد القرن وتزعم أن هذا ليس دليلا على أن وحيد القرن لا وجود له في الواقع، بدلا من أن تأخذه دليلا من باب أولى على أن حيوانات وحيد القرن تمثل حيوانا من نوع جديد كلية يتمتع بخاصية فريدة وهي التخفي عن الأنظار. وهنا نجد بالطبع الخيط الرفيع الذي يفصل بين الذكاء الحاد والجنون الذي يتحدث عنه الكتاب وصانعو الأفلام في العصر الحديث. الحقيقة هي أن كل أنواع الكيانات الغريبة، التي لا يمكن رصدها رصدا مباشرا مثل الصفر والأعداد الصحيحة السالبة والأعداد غير النسبية وغيرها، دخلت أساسا الرياضيات تحت النوع نفسه من سحابة الجنون أو عدم الاتساق، ولكنها مقبولة تماما الآن، بل وأساسية. وفي الوقت نفسه، يوجد الكثير من الابتكارات الأخرى التي كانت حقا محض جنون أو غير قابلة للتنفيذ وأصبحت أضحوكة مجتمع الرياضيات، ولم نسمع - نحن الأشخاص العاديين غير المختصين - عنها أبدا.

ناپیژندل شوی مخ