بما أن محيط أي دائرة عبارة عن دالة مباشرة في نصف قطرها، سيكون محيط الدائرة الكبرى ضعف طول محيط الدائرة الصغرى. والمحيط هو أيضا خط؛ لذلك لا بد أن يكون عدد النقاط على محيط الدائرة الكبرى ضعف عددها على محيط الدائرة الصغرى. ولكن لا: بما أن الدائرتين لهما المركز نفسه، فإن مجرد رسم عدد من أنصاف الأقطار يؤكد أن أي نصف قطر يقطع الدائرة الكبرى في نقطة ما

سوف يقطع الدائرة الصغرى في نقطة مناظرة واحدة فقط ، دون تكرار نقاط أو إغفالها:

وهو ما يوضح بذلك أن عدد النقاط على محيطي كلتا الدائرتين متساو.

هذه المسائل مستقاة من الواقع، وهي ليست مزعجة أو مخالفة للحدس والبديهة فحسب، ولكنها عويصة ومعقدة من الناحية الرياضية. حل جي إف إل بي كانتور كل هذه المسائل تقريبا. ولكن، في اللغة الطبيعية يمكن بالطبع أن تعني كلمة «حل» أشياء مختلفة. كما سبق أن أشرنا، أحد أساليب الرياضيات في هدم أساس المسائل هو تجريدها من الوجود الفعلي - بإزالة بعض أنواع الكيانات الرياضية و/أو وضع نظريات ذات شروط واستثناءات تهدف إلى درء النتائج غير المعقولة. قبل ظهور رياضيات الأعداد فوق المنتهية، كانت هذه هي الطريقة التي عولجت بها معظم مفارقات اللانهائية وتناقضاتها. لقد «حللتها» أنت أولا بتفادي الفرق بين مفارقة وتناقض، ثم بتطبيق نوع من النقض المتيافيزيقي: إذا افترضنا أن كميات غير منتهية، مثل عدد النقاط على خط أو مجموعة الأعداد الصحيحة بأكملها، تؤدي إلى استنتاجات متناقضة، فلا بد من وجود شيء خطأ أو غير ذي معنى في حد ذاته بشأن الكميات غير المنتهية، ومن ثم لا يمكن أن «توجد» الكيانات المتعلقة باللانهائية في الحقيقة بمفهوم رياضي. وكانت هذه بالأساس هي الحجة التي استخدمت - على سبيل المثال - ضد مفارقة جاليليو الشهيرة في مستهل القرن السابع عشر. وفيما يلي مضمون هذه المفارقة. تنص المسلمة الخامسة من مسلمات إقليدس على أن «الكل دائما أكبر من الجزء»، وهو ما يبدو أمرا غير قابل للجدل ولا يرقى إليه الشك مطلقا. من الواضح أيضا أنه في حين أن كل مربع كامل (أي ) هو عدد صحيح، فليس كل عدد صحيح مربعا كاملا. بعبارة أخرى، مجموعة المربعات الكاملة كلها ما هي إلا جزء فقط من مجموعة الأعداد الصحيحة كلها، وحسب مسلمة إقليدس الخامسة فإنها أصغر منها. المشكلة هي أن نفس فكرة التساوي من خلال التناظر، التي رأيناها مع القطعتين المستقيمتين

والدائرتين متحدتي المركز، يمكن تطبيقها هنا؛ وذلك لأنه بما أن ليس كل عدد صحيح مربعا كاملا، فإن كل عدد صحيح هو فعلا الجذر التربيعي لمربع كامل - فالعدد

هو الجذر التربيعي للمربع الكامل ، و

هو الجذر التربيعي للمربع الكامل ، و

هو الجذر التربيعي للمربع الكامل ، و

هو الجذر التربيعي للمربع الكامل ، وهكذا. وعلى نحو تصويري، يمكنك كتابة المجموعتين بحيث تكون إحداهما أعلى الأخرى، وتثبت وجود تناظر أحادي تام غير متناه بين عناصر المجموعتين:

25

ناپیژندل شوی مخ