DEFINITION OF MUMBER

We can suppose all conples in one bundle, all trios in another, and so on. In this way we obtain various bundles of collections, each bundle consisting of all the collections that have a certain number of terms. Each bundle is a class whose members are collections, i.e. classes; thus each is a class of classes. The bundle consisting of all couples, for example, is a class of classes: each couple is a class with two members, and the whole bundle of couples is a class with an infinite number of members, each of which is a class of two members.

How shall we decide whether two collections are to belong to the same bundle? The answer that suggests itself is: “Find out how many members each has, and put them in the same bundle if they have the same number of members.” But this presupposes that we have defined numbers, and that we know how to discover how many terms a collection has. We are so used to the operation of counting that such a presup-position might easily pass unnoticed. In fact, however, counting, though familiar, is logically a very complex operation; moreover it is only available, as a means of discovering how many terms a collection has, when the collection is finite. Our definition of number must not assume in advance that all numbers are finite; and we cannot in any case, without a vicious circle, use counting to define numbers, because numbers are used in counting. We need, therefore, some other method of deciding when two collections have the same number of terms.

The notion of similarity is logically presupposed in the operation of counting, and is logically simpler though less familiar ...

We may thus use the notion of “similarity” to decide when two collections are to belong to the same bundle.

Introduction to Mathematical Philosophy, pp. 14-17

النص الثالث: المنطق والرياضة (1) الرياضة البحتة هي طائفة القضايا التي تأخذ هذه الصورة: «ق تستلزم ك» حين تكون «ق» و«ك» قضيتين محتويتين على متغير واحد أو أكثر، بحيث تكون المتغيرات في إحداهما هي نفسها المتغيرات في الأخرى، وبحيث لا تشتمل «ق» أو «ك» على ثوابت البتة ما عدا الثوابت المنطقية، والثوابت المنطقية كلها عبارة عن أفكار يمكن تعريفها باستخدام الحدود الآتية: لزوم، علاقة حد بفئة هو عضو فيها، الفكرة التي تعبر عنها كلمة «بحيث»، فكرة العلاقة، وغير هذه من الأفكار التي قد تكون متضمنة في الفكرة العامة عن القضايا التي هي من الصورة المذكورة، أضف إلى هذه الأفكار كلها حقيقة أخرى، وهي أن الرياضة تستخدم فكرة ليست في ذاتها من مقومات القضايا التي هي موضوع الرياضة، وأعني بها فكرة الصواب.

مبادئ الرياضة، ص3 (2) علاقة الرياضة بالمنطق وثيقة جدا، فكون الثوابت الرياضية جميعا ثوابت منطقية، وأن مقدمات الرياضة كلها إنما تختص بتلك الثوابت، يبين لنا - فيما أعتقد - بيانا دقيقا ما قصد إليه الفلاسفة حين قالوا عن الرياضة إنها قبلية، إذ الواقع هو أننا إذا ما قبلنا جهاز المنطق، فإن الرياضة بكافتها تلزم بالضرورة، وأما الثوابت المنطقية نفسها فطريقة تعريفها لا تكون إلا بمجرد ذكرها؛ لأنها من الأولية بحيث تكون كافة الخصائص التي يمكن بواسطتها تعريف تلك الطائفة من الثوابت مما لا بد أن يفترض مقدما بعض أفراد الطائفة، ومع ذلك فمن الوجهة العملية يتخذ تحليل المنطق الرياضي وسيلة للكشف عن الثوابت المنطقية، إن تمييز الرياضة من المنطق أمر جزاف إلى حد بعيد، ولكن إذا كان هذا التمييز بينهما أمرا مرغوبا فيه، فيمكن بيانه على النحو الآتي: يتألف المنطق من مقدمات الرياضة بالإضافة إلى جميع القضايا الأخرى التي لا تتناول قط إلا الثوابت المنطقية، ومعها المتغيرات دون أن تكون مستوفية لشروط تعريف الرياضة كما قدمناه (انظر «أ»)، وأما الرياضة فتتألف من جميع ما يترتب من نتائج على المقدمات المذكورة التي تثبت لزومات صورية مشتملة على متغيرات، بالإضافة إلى بعض تلك المقدمات نفسها؛ على شرط أن يكون فيها تلك المميزات، وعلى ذلك فبعض مقدمات الرياضة، مثل المبدأ المنطوي عليه هذا القياس: «إذا كانت «ق» تستلزم «ك» و«ك» تستلزم «ر»، كانت «ق» تستلزم «ر»» ينتمي إلى الرياضة، على حين أن بعضا آخر مثل قولنا «اللزوم علاقة» ينتمي إلى المنطق لا إلى الرياضة، ولولا رغبتنا في التزام الاستعمال الشائع، لجاز لنا أن نوحد بين الرياضة والمنطق، وأن نعرف كلا منهما بأنه طائفة القضايا المشتملة على متغيرات فقط مع ثوابت منطقية، لكن احترام العرف يؤدي بي إلى الأخذ بالتفرقة المذكورة، على ألا أنسى أن قضايا معينة تنتمي إليهما معا.

أصول الرياضة، ص8-9

LOGIC AND MATHEMATICS (1) Pure Mathematics is the class of all propositions of the form “p implies q” where p and q are propositions containing one or more variables, the same in the two propositions, and neither p nor q contains any constants except logical constants. And logical constants are all notions definable in terms of the following: Implication, the relation of a term to a class of which it is a member, the notion of 'such that’, the notion of relation, and such further notions as may be involved in the general notion of propositions of the above form. In addition to these mathematics uses a notion which is not a constituent of the propositions which it considers, namely the notion of truth.

ناپیژندل شوی مخ