(1) فصل في النسب

اعلم أن النسبة على ثلاثة أنواع، إما بالكمية وإما بالكيفية وإما بهما جميعا، فالتي بالكمية يقال لها: نسبة عددية، والتي بالكيفية يقال لها: نسبة هندسية، والتي بهما جميعا يقال لها: نسبة تأليفية وموسيقية، وأما النسبة العددية فهي تفاوت ما بين عددين مختلفين بالتساوي؛ مثال ذلك واحد اثنان ثلاثة أربعة خمسة ستة سبعة ثمانية تسعة عشرة، فإن تفاوت ما بين كل عددين من هذه الأعداد واحد واحد، وكذلك اثنان أربعة ستة ثمانية عشرة اثنا عشر أربعة عشر ستة عشر ثمانية عشر وما زاد، فإن التفاوت بين كل عددين من هذه الأعداد اثنان اثنان.

وكذلك: واحد ثلاثة خمسة سبعة تسعة أحد عشر وما زاد على ذلك، فإن التفاوت بين كل عددين منها اثنان اثنان، وعلى هذا القياس تبنى سائر النسب العددية، وإنما يعتبر مساواة تفاوت ما بينهما، ومن خاصية هذه النسبة أن كل عددين - أي عددين كانا - إذا أخذ نصف كل واحد منهما وجمع يكون منهما عدد آخر متوسط بين العددين، مثال ذلك ثلاثة وأربعة تفاوت ما بينهما واحد، فإن أخذ نصف الثلاثة وهو واحد ونصف الأربعة وهو اثنان، وجمع بينهما يكون ثلاثة ونصفا وثلاثة ونصف أكثر من ثلاثة بنصف، وينقص عن الأربعة بنصف، وعلى هذا القياس يعتبر سائر النسب العددية.

وأما النسبة الهندسية فهي قدر أحد العددين المختلفين عند العدد الآخر؛ مثال ذلك أربعة ستة تسعة، فإنما هي في نسبة هندسية، وذلك أن نسبة الأربعة إلى الستة كنسبة الستة إلى التسعة، وذلك أن الأربعة ثلثا الستة، والستة ثلثا التسعة، وكذلك بالعكس فإن نسبة التسعة إلى الستة كنسبة الستة إلى الأربعة، وذلك أن التسعة مثل الستة ومثل نصفها، والستة مثل الأربعة ومثل نصفها، وهكذا: ثمانية واثنا عشر وثمانية عشر وسبعة وعشرون، فإنها كلها في نسبة هندسية، وذلك أن الثمانية ثلثا الاثني عشر، والاثني عشر ثلثا الثمانية عشر، والثمانية عشر ثلثا السبعة والعشرين، وكذلك بالعكس سبعة وعشرون مثل ثمانية عشر ومثل نصفها، وثمانية عشر مثل اثني عشر ومثل نصفها، والاثنا عشر مثل الثمانية ومثل نصفها، وعلى هذا المثال يعتبر سائر النسب الهندسية.

وهي تنقسم نوعين: متصلة ومنفصلة، فالمتصلة مثل هذه التي قدمنا ذكرها، ومن خاصية هذه النسبة إذا كانت ثلاثة أعداد، فإن ضرب الأول في الثالث مثل ضرب الثاني في نفسه، مثال ذلك أن ضرب الأربعة في التسعة مثل ضرب الستة في نفسها، وإن كانت أربعة أعداد، فإن ضرب الأول في الرابع مثل ضرب الثاني في الثالث، مثال ذلك ثمانية واثنا عشر وثمانية عشر وسبعة وعشرون، وأما المنفصلة فهي مثل أربعة وستة وثمانية واثني عشر، فإن نسبة الأربعة إلى الستة كنسبة الثمانية إلى الاثني عشر؛ لأن الثمانية ثلثا الاثني عشر، وليست الستة ثلثي الثمانية، لكن الأربعة ثلثا الستة، فهذه النسبة وأمثالها يقال لها: منفصلة.

ومن خاصية هذه النسبة أن ضرب الأول في الرابع مثل ضرب الثاني في الثالث، ومن خاصية هذه النسبة المتصلة أن الحد الأوسط مشترك في النسبة، وأما المنفصلة فالحد الوسط غير مشترك في النسبة، وأما النسبة التأليفية فهي المركبة من الهندسية والعددية، مثال ذلك واحد واثنان وثلاثة وأربعة وخمسة وستة، فالستة تسمى الحد الأعظم، والثلاثة الحد الأصغر، والأربعة الحد الأوسط، وواحد واثنان هما التفاضل بين الحدود، وذلك أن فضل ما بين الستة والأربعة اثنان، وفضل ما بين الأربعة والثلاثة واحد، فنسبة الاثنين الذي هو التفاضل بين الستة والأربعة والثلاثة إلى الواحد الذي هو التفاضل بين الأربعة والثلاثة كنسبة الحد الأعظم الذي هو الستة إلى الحد الأصغر الذي هو الثلاثة.

وكذلك بالعكس نسبة الثلاثة الذي هو الحد الأصغر إلى الستة الذي هو الحد الأعظم، كنسبة الواحد إلى الاثنين الذي هو تفاوت ما بين الأربعة والستة.

ومن وجه آخر نسبة الواحد إلى الاثنين كنسبة الاثنين إلى الأربعة، وكنسبة الثلاثة إلى الستة، وعكس ذلك نسبة الستة إلى الثلاثة كنسبة الأربعة إلى الاثنين، ونسبة الاثنين إلى الواحد، ومن وجه آخر نسبة الستة إلى الأربعة كنسبة الثلاثة إلى الاثنين، وعكس ذلك نسبة الاثنين إلى الثلاثة كنسبة الأربعة إلى الستة؛ فإن هذه النسبة مؤلفة من العددية والهندسية، ومركبة منهما، ومن هذه النسبة استخراج تأليف النغم والألحان - كما بينا في رسالة الموسيقى.

(2) فصل في استخراج النسب المتصلة

كل عدد - أي عدد كان - أضيف إلى عدد آخر أكثر منه، فله إليه نسبة ما، وقد يوجد عدد آخر أقل منه في تلك النسبة، مثال ذلك عشرة إذا نسبت إلى مائة فإنها في نسبة العشر، ودونها الواحد في تلك النسبة؛ لأن الواحد عشر العشرة، كما أن العشرة عشر المائة، وكذلك نسبة العشرة إلى التسعين كنسبة الواحد والتسع إلى العشرة، وكذلك نسبة العشرة إلى الثمانين كنسبة الواحد والربع إلى العشرة، وكذلك نسبة العشرة إلى السبعين كنسبة الواحد وثلاثة أسباع إلى العشرة، وكذلك نسبة العشرة إلى الستين كنسبة الواحد والثلثين إلى العشرة، وكذلك نسبة العشرة من الخمسين كنسبة الاثنين من العشرة، ونسبة العشرة من الأربعين كنسبة الاثنين ونصف إلى العشرة، ونسبة العشرة من الثلاثين كنسبة الثلاثة والثلث من العشرة، ونسبة العشرة من العشرين كنسبة الخمسة من العشرة، وعلى هذا القياس تعتبر سائر النسب المتصلة.

Halaman tidak diketahui