وبعد هذا العرض السريع للامتدادات المتعاقبة لمعنى العدد، يجب علينا أن نفسح مكانا لامتداد متطرف، وأن نختبر بإيجاز مسألة «العدد اللامتناهي». والواقع أن الرياضة الحديثة قد أدركت ضرورة استبدال فكرة جديدة بفكرة العدد لحل مسائل تتعلق بمجموعات من الأشياء «لا نهاية لعددها»، وتلك هي فكرة «القوة»؛ فتسمى الفئات اللامتناهية من الأشياء باسم المجموعات

ensembles . ودراسة المجموعات مبحث أصبحت له أهمية قصوى منذ ما يقرب من قرن من الزمان، ويسمى الرياضيون الباحثون فيه باسم المجموعيين

ensemblistes .

فعلى أي نحو تبدو فكرة قوة مجموعة لا متناهية؟ يقال عن المجموعتين أن لهما نفس القوة إذا أمكن وضع تناظر بينهما عنصرا عنصرا (أي تناظر فردي بين كل زوج).

فكما أن العدد قد استمد معناه من أن فئتين متناهيتين تتفقان في العدد، فكذلك تستمد القوة معناها من أن مجموعتين لا متناهيتين لهما نفس القوة.

ونقول بعبارة أخرى إن معنى العدد لا يصلح لدراسة مجال اللامتناهي؛ بل ينبغي أن نستعين في هذه الدراسة بفكرة القوة، وهي فكرة توسع معنى العدد، وتستخدم مع ذلك فكرة التناظر واحدا واحدا، التي نجدها في أساس بناء الحساب ذاته.

فلننظر بالأمثلة إلى تطبيق فكرة القوة، ولنفحص مجموع حواصل الضرب في 3، ومجموع حواصل الضرب في 5. فإذا كنا بصدد عدد متناه، أي الأعداد المائة مثلا، كان عدد حواصل الضرب في 5 أقل بطبيعة الحال من عدد حواصل الضرب في 3. ولكن إذا قارنا المجموعات اللامتناهية عن طريق فكرة القوة، وجدنا أن المجموعين (حواصل الضرب في 3 وحواصل الضرب في 5) لهما نفس القوة، التي تساوي بالضبط قوة مجموع الأعداد الصحيحة، وهي القوة الأساسية بقوة «المعدود

dénumerable ». ويكفي أن نضع 3، 5 «بوصفهما عوامل» لكي نبين أن من الممكن إيجاد تناظر بين هذه المجموعات الثلاث حدا حدا:

1

2

Halaman tidak diketahui