تساوي أي عدد. ومن ثم؛ فالعدد 13 ينتمي إلى الفئة الأولى (4 × 3 + 1)، أما العدد 19 فهو ينتمي إلى الفئة الثانية (4 × 5 − 1). وقد كانت مبرهنة فيرما المتعلقة بالأعداد الأولية تزعم أن النوع الأول من الأعداد الأولية دائما ما يكون حاصل جمع مربعين (13 = 2

2 + 3

2 )، أما النوع الثاني فلا يمكن أبدا أن يكتب بهذه الطريقة (19 = ؟

2 + ؟

2 ). إن هذه السمة للأعداد الأولية تتميز ببساطتها الجميلة، غير أن محاولة إثبات صحتها في جميع الأعداد الأولية يصبح أمرا شديد الصعوبة. بالنسبة إلى فيرما، لم يكن ذلك سوى واحد من البراهين السرية العديدة. وبالنسبة إلى أويلر، فقد كان التحدي هو إعادة اكتشاف برهان فيرما. وفي العام 1749، بعد سبع سنوات من العمل، وبعد مرور ما يقرب من قرن على وفاة فيرما، نجح أويلر أخيرا في إثبات مبرهنة الأعداد الأولية.

لقد تنوعت مجموعة مبرهنات فيرما بين ما هو جوهري وما هو ممتع فحسب. ذلك أن علماء الرياضيات يرتبون أهمية المبرهنات وفقا لتأثيرها في بقية الرياضيات. فأولا، توصف المبرهنة بالأهمية إذا كانت تعبر عن حقيقة شاملة، أي إنها تنطبق على مجموعة بأكملها من الأعداد. وفي حالة الأعداد الأولية، فإن هذه المبرهنة لا تنطبق على بعض الأعداد الأولية فحسب، بل تنطبق عليها كلها. وثانيا، ينبغي أن تكشف المبرهنة عن حقيقة ضمنية عن العلاقات بين الأعداد. ويمكن أن تكون إحدى المبرهنات نقطة انطلاق لتوليد مجموعة كاملة من المبرهنات الأخرى، أو تكون مصدر إلهام لتطوير فروع جديدة للرياضيات. وأخيرا، توصف المبرهنة بالأهمية إذا كانت بعض المجالات البحثية ستتعطل بأكملها بسبب غياب رابط منطقي واحد. إن العديد من علماء الرياضيات قد شعروا بالاستياء الشديد؛ إذ كانوا يدركون أنهم قد يتمكنون من تحقيق نتيجة هامة، إذا استطاعوا فقط أن يقيموا رابطا واحدا مفقودا في تسلسلهم المنطقي.

نظرا إلى أن علماء الرياضيات يستخدمون المبرهنات بصفتها سبيلا للتقدم نحو نتائج أخرى، كان من الضروري إثبات جميع مبرهنات فيرما. فلم يكن من الممكن القبول بصحة مبرهنة لمجرد أن فيرما قد زعم أنه توصل إلى إثبات لها. بل كان ينبغي إثبات كل مبرهنة بدقة شديدة قبل استخدامها، وإلا فلربما كانت العواقب وخيمة. تخيل مثلا أن علماء الرياضيات قبلوا إحدى مبرهنات فيرما. كانت ستدمج بعد ذلك بصفتها عنصرا واحدا في سلسلة كاملة من براهين أخرى أكبر منها. وفي الوقت المناسب، ستدمج هذه البراهين الأكبر في براهين أكبر منها، وهكذا. وفي نهاية المطاف، قد نجد أن المئات من المبرهنات تستند إلى الحقيقة التي تنطوي عليها المبرهنة الأصلية التي لم يتحقق العلماء منها. فماذا لو أن فيرما قد ارتكب خطأ ما، وكانت هذه المبرهنة التي لم يتحقق العلماء منها معيبة في واقع الأمر؟ ستكون جميع تلك المبرهنات الأخرى التي استخدمت فيها، معيبة هي أيضا، وستنهار جوانب شاسعة من الرياضيات. إن المبرهنات هي الأساسات التي تبنى عليها الرياضيات؛ ففور إرساء حقيقتها، يمكن بعد ذلك أن تبنى فوقها بأمان مبرهنات أخرى. أما الأفكار غير المثبتة، فهي أقل قيمة من المبرهنات بدرجة كبيرة، وتسمى بالحدسيات. وكل حجة منطقية تستند إلى حدسية، هي نفسها محض حدسية.

لقد قال فيرما إن لديه إثباتا على كل ملاحظة من ملاحظاته؛ ومن ثم فقد كانت مبرهنات بالنسبة إليه. بالرغم من ذلك، فإلى أن يتوصل المجتمع بصفة عامة إلى إعادة اكتشاف البراهين، ستظل هذه الملاحظات محض حدسيات. والحق أن مبرهنة فيرما الأخيرة كان ينبغي أن تسمى على مدى آخر ثلاثمائة وخمسين عاما، بحدسية فيرما الأخيرة تحريا للدقة.

ومع مرور القرون، أثبتت جميع ملاحظاته واحدة تلو الأخرى، لكن مبرهنة فيرما الأخيرة قد أصرت بكل عناد على رفض الاستسلام بسهولة. والواقع أنها تسمى بالمبرهنة «الأخيرة» لأنها آخر ما تبقى إثباته من الملاحظات. مرت ثلاثة قرون من الجهود دون إيجاد برهان لها، مما أدى إلى اشتهارها بالسمعة السيئة؛ بوصفها اللغز الأكثر تطلبا في الرياضيات. غير أن هذه الصعوبة المعترف بها لا تعني بالضرورة أن مبرهنة فيرما الأخيرة تتسم بالأهمية على النحو الذي ذكرناه آنفا. وإنما بدا حتى وقت قريب على الأقل، أن المبرهنة الأخيرة لا تفي بالعديد من المعايير؛ فبدا أن إثباتها لن يؤدي إلى أي اكتشاف عميق أو فكرة محددة عميقة بشأن الأعداد، ولن تساعد في إثبات أي حدسيات أخرى.

إن شهرة مبرهنة فيرما الأخيرة لا تنبع إلا من الصعوبة الشديدة في إثباتها. ومن الأسباب الإضافية لهذه الشهرة أن أمير الهواة قد قال إنه يستطيع إثبات هذه المبرهنة التي حيرت أجيالا من علماء الرياضيات المحترفين منذ ذلك الوقت. لقد بدت تعليقات فيرما الارتجالية في هوامش «أريثميتيكا» تحديا للعالم. لقد أثبت فيرما مبرهنته الأخيرة، وكان السؤال هو: أيستطيع أي رياضي آخر مجاراة براعته؟

Halaman tidak diketahui