4 «ولكن، في النهاية، ما هي الأعداد الصحيحة؟ يعتقد الجميع أنهم يعرفون، على سبيل المثال، ما يعنيه العدد ثلاثة - حتى يحاولوا تعريفه أو توضيحه.» بالنظر إلى ما سوف يتكشف عند التحدث إلى مدرسي الصف الأول والصف الثاني ومعرفة الكيفية التي يتعلم بها الطلاب فعليا موضوع الأعداد الصحيحة. عما يعنيه، على سبيل المثال، العدد خمسة. أولا، لنقل إنهم أعطوا خمس برتقالات، شيء يمكنهم لمسه أو مسكه بأيديهم، ثم طلب منهم عدها. وبعد ذلك، أعطوا صورة لخمس برتقالات، ثم صورة تجمع بين البرتقالات الخمس والعدد «5» بحيث يربطون بين الاثنين. وبعدها صورة للعدد «5» فقط من دون البرتقالات. يشارك الأطفال بعد ذلك في تمارين شفهية يبدءون فيها الحديث عن العدد الصحيح «5» بذاته، كما لو أنه شيء مستقل بذاته، بعيدا عن البرتقالات الخمس. بعبارة أخرى، فإنهم يضللون على نحو منهجي، أو يوجهون نحو التعامل مع الأعداد على أنها أشياء بدلا من أن تكون رموزا لأشياء. وعندئذ، يمكن تدريس الحساب، الذي يشمل العلاقات الأولية بين الأعداد (سوف تلاحظ أوجه الشبه بين هذا والطرق التي تعلمنا بها استخدام اللغة. وهكذا، نتعلم في مرحلة مبكرة أن الاسم «خمسة» يعني؛ أي يرمز إلى، العدد 5، وهكذا).

ولكن، حسبما يقول المعلمون، سيجد الطفل صعوبة في بعض الأحيان. فبعض الأطفال يفهمون أن كلمة «خمسة» تشير إلى العدد 5، ولكنهم يحتاجون مع ذلك إلى معرفة الكلمة التي تأتي بعد 5، هل هي 5 برتقالات، أو 5 أقلام، أو 5 بنسات، أو 5 نقاط؟ هؤلاء الأطفال الذين لا يجدون صعوبة في جمع أو طرح برتقالات أو عملات، لن تكون نتائجهم في اختبارات الحساب جيدة على الرغم من ذلك. فلا يمكنهم التعامل مع 5 كشيء في حد ذاته. فهم كثيرا ما يردون إلى نمط من الرياضيات يتعلق بالتعليم الخاص، حيث كل شيء يجري تدريسه وفقا لمجموعات من الأشياء الفعلية، وليس كأعداد «مستقاة من أمثلة معينة».

5

الفكرة: التعريف الأساسي لكلمة «مجرد» في المغزى الذي نقصده هنا سيكون التعريف المتسلسل نوعا ما «المنزوع من أو الذي يتجاوز الخصوصية الحسية، التجربة الحسية». وبهذا المفهوم وحده، يكون لفظ «مجرد» عبارة عن مصطلح ميتافيزيقي. وفي الواقع، فإن كل النظريات الرياضية تتضمن نوعا من الموقف الميتافيزيقي. مؤسس التجريد في الرياضيات هو فيثاغورس، ومؤسسه في الميتافيزيقا هو أفلاطون.

ومع ذلك، فالتعريفات الأخرى في قاموس أكسفورد للغة الإنجليزية غير ذات صلة، ليس فقط لأن الرياضيات الحديثة مجردة بمعنى أنها صعبة للغاية وغامضة وعادة يصعب حتى مطالعتها بالنظر. ومن المفاهيم الجوهرية أيضا في ذلك المفهوم الذي يمكن أن يعني به تجريد شيء ما اختزاله إلى جوهره البنائي المطلق، كما في خلاصة مقال أو كتاب. وهكذا، فإنه من الممكن أن يعني إمعان التفكير في الأشياء التي لا يمكن للغالبية العظمى من الناس إمعان التفكير فيها؛ لأن الأمر يسوقهم إلى الجنون.

كل ما نستعرضه هنا هو ضرب من الإحماء؛ فموضوع التجريد ككل لن يكون على هذا النحو. فيما يلي اقتباسان آخران عن شخصين تعانق شهرتهما عنان السماء؛ إم كلاين: «كان من بين إسهامات الإغريق العظيمة لمفهوم الرياضيات الإدراك الواعي لحقيقة أن الكيانات الرياضية عبارة عن تجريدات، والتأكيد على ذلك، وهي أفكار تأملها العقل وتدبرها وجرى تمييزها بوضوح عن الصور أو الأشياء المادية.» إف دي إل سوسور: «ما أغفله الفلاسفة وعلماء المنطق أنه من اللحظة التي يصبح فيها نظام من الرموز مستقلا عن الأشياء المادية، فإنه في حد ذاته يكون خاضعا للإسقاطات الجارية التي لا حد لها من جانب عالم المنطق.»

التجريد يشمل كل أنواع المشاكل والأزمات، حسبما نعرف جميعا. ويكمن جزء من الخطر في طريقة استخدامنا للأسماء. نحن نفكر في معاني الأسماء من حيث دلالاتها. والأسماء ترمز إلى أشياء: رجل، مكتب، قلم، ديفيد، رأس، أسبرين. ويترتب على ذلك نوع خاص من الملهاة عند وجود التباس حول ماهية اسم حقيقي، كما هو الحال في «من هو الأول؟» أو على غرار ما نجده في كتاب «أليس في بلاد العجائب» - «ماذا ترى على الطريق؟» «لا شيء.» «يا لها من رؤية ثاقبة! كيف يبدو اللاشيء؟» ومع ذلك، تتلاشى الملهاة عندما تدل الأسماء على أفكار مجردة؛ أي مفاهيم عامة منفصلة عن الأمثلة المحددة. وكثير من هذه الأسماء المتعلقة بأفكار مجردة تأتي من أفعال الجذر. كلمة «حركة» هي اسم، وكذلك كلمة «وجود»، ونحن نستخدم كلمات كهذه طوال الوقت. ويكون الالتباس عندما نحاول النظر فيما تعنيه هذه الكلمات بالضبط. وهذا على غرار وجهة نظر بوير عن الأعداد الصحيحة. إلام تشير بالضبط كلمة «حركة» وكلمة «وجود»؟ نحن نعلم أن أشياء مادية بعينها موجودة، وأنها تتحرك أحيانا. فهل الحركة في حد ذاتها موجودة؟ كيف؟ ما الكيفية التي توجد بها الأفكار المجردة؟

لا شك أن هذا السؤال الأخير نفسه مجرد للغاية. ولربما بدأت تشعر بالصداع؛ فأمور كهذه تكون مصحوبة عادة بنوع خاص من عدم الارتياح أو نفاد الصبر. مثل «ما هو الوجود بالضبط؟» أو «ما الذي نعنيه بالضبط عندما نتحدث عن الحركة؟» عدم الارتياح شيء مميز جدا ويوجد فقط عند مستوى معين في عملية التجريد؛ لأن عملية التجريد تتم على مستويات، بالأحرى مثل الأسس أو الأبعاد. لنقل إن لفظة «رجل» التي تعني رجلا ما بعينه هي المستوى الأول، ولفظة «رجل» التي تعني النوع هي المستوى الثاني، وشيء مثل «الجنس البشري» أو «الإنسانية» هو المستوى الثالث؛ إذن نحن الآن نتحدث عن المعايير المجردة لشيء ما يوصف بأنه إنسان أو بشري، وهكذا. التفكير بهذا الأسلوب قد يكون خطرا، أو غريبا. التفكير بشكل مجرد بما يكفي في أي شيء ... من المؤكد أننا جميعا مررنا بتجربة التفكير في كلمة ما، ولتكن كلمة «قلم» مثلا، وكررنا الكلمة على مسامعنا مرارا وتكرارا حتى فقدت دلالتها؛ فغرابة إطلاق مسمى «قلم» على شيء ما تبدأ في التوغل تدريجيا إلى داخل الوعي، مثل نوبة صرع.

حسبما تعلم على الأرجح، فإن كثيرا مما نسميه الآن الفلسفة التحليلية يعنى بأسئلة من هذا القبيل تتعلق بالمستوى الثالث أو حتى الرابع. كما في نظرية المعرفة = «ماذا تعني المعرفة بالضبط؟»، والميتافيزيقا = «ما هي بالضبط العلاقات بين التراكيب العقلية والأشياء الحقيقية في الواقع الفعلي؟»، إلى آخره.

6

Halaman tidak diketahui