مع الشكل رقم

4-4

أن ملاحظات الدائرة الكهربائية «تشبه» عنصر جذب نظام مور-شبيجل، لكن كم تبلغ درجة هذا التشابه حقا؟ يختلف كل نظام فيزيائي عن الآخر. عادة، عندما لا تتوافر لدينا بيانات كثيرة ولا يكون فهمنا كبيرا، تقدم النماذج الإحصائية نقطة بداية قيمة في التوقع. مع تنامي معرفتنا، ومع جمع المزيد من البيانات، تظهر نماذج المحاكاة سلوكا «مشابها» لسلوك السلاسل الزمنية للملاحظات، ومع تزايد تعقيد النماذج يصبح هذا التشابه عادة كميا أكثر. في الحالات النادرة مثلما في حالة الدائرة هذه، عندما تتوافر فترة زمنية هائلة من الملاحظات، يبدو أن نماذجنا القائمة على البيانات - بما في ذلك تلك النماذج التي تشير إليها نظرية تاكنس - تعتبر عادة أفضل نماذج ملائمة من الناحية الكمية. يصبح الأمر كما لو أن نماذج المحاكاة تقوم بنمذجة دائرة ما مثالية، أو كوكب، بينما تعكس النماذج القائمة على البيانات أكثر الدائرة الموجودة على المائدة. في كل حالة، ثمة تشابه فقط، سواء كنا نستخدم النماذج الإحصائية، أو نماذج المحاكاة، أو نماذج إعادة البناء المتأخر، ويظل منطق توصيف النظام الفيزيائي بواسطة أي معادلات نموذجية غير واضح، وهو أمر يمكن رؤيته باستمرار في النظم الفيزيائية التي تكون أفضل نماذجنا لها فوضوية. نرغب في جعل هذه النظم ملائمة من الناحية التجريبية، بيد أننا لا نعرف يقينا كيف نحسنها، وفي ظل نظم مثل مناخ الأرض، لا نستطيع أن ننتظر استغراق فترة الملاحظة اللازمة. تشير دراسة الفوضى إلى مزج بين أساليب النمذجة الثلاثة هذه، لكن لم تتحقق أي نتيجة بعد بالاعتماد على ذلك.

ثمة أمثلة متعددة على سوء فهم نظرية تاكنس، وأحد هذه الأمثلة هو أنك في حال توافر لديك عدد من الملاحظات المتزامنة «يجب» استخدام واحدة منها فقط، بينما تسمح نظرية تاكنس باستخدام جميع الملاحظات! مثال ثان على سوء الفهم يتمثل في نسيان أن نظرية تاكنس تدلنا فقط على أنه في حال كان لدينا نموذج حتمي قليل الأبعاد، سيجري حفظ الكثير من خواص النموذج في نموذج إعادة بناء-متأخر. يجب أن نأخذ في الاعتبار ألا نفترض العكس، ونفترض أن رصد بعض الخواص في نموذج إعادة بناء-متأخر يشير ضمنا بالضرورة إلى وجود فوضى؛ إذ إننا نادرا ما نعرف البنية الرياضية الحقيقية للنظام الذي نرصده (إذا ما عرفناها على الإطلاق).

تخبرنا نظرية تاكنس أن «تقريبا كل» قياس سيفلح، وهي حالة تتقابل فيها «تقريبا كل» في فضاء دالة الرياضي لدينا مع «ولا واحد من» في المختبرات في العالم الواقعي. يتعارض التقطع الذي يحدث على عدد محدود من وحدات البيانات مع أحد افتراضات النظرية. ثمة أيضا مسألة تشويش الملاحظات في قياساتنا. إلى حد ما، ليس ذلك سوى نوع من الشكاوى الفنية، وربما يبقى نموذج إعادة البناء المتأخر موجودا، ويستطيع الإحصائي والفيزيائي لدينا مواجهة تحدي وضع نموذج تقريبي في ظل وجود قيود واقعية على تدفقات البيانات. ثمة مشكلة أخرى أصعب في تجاوزها؛ ألا وهي أن فترة ملاحظاتنا يجب أن تتجاوز زمن التكرار النموذجي. ربما لا تكون الفترة الزمنية المطلوبة أطول فحسب من الفترة الزمنية التي تغطي مجموعة البيانات الحالية، بل ربما تكون أطول من العمر الزمني للنظام نفسه. وهو ما يعتبر قيدا أساسيا ينطوي على تداعيات فلسفية. كم سيمضي من الوقت قبل أن نتوقع رصد يومين تتشابه حالة الطقس فيهما على نحو يجعلنا غير قادرين على التمييز بينهما؟ بعبارة أخرى، يومان كان الفرق بين الحالتين المتناظرتين لمناخ الأرض يقع في نطاق عدم اليقين في الملاحظات؟ حوالي 1030 عاما. لا يكاد يعتبر هذا قيدا فنيا؛ ففي هذا المقياس الزمني ستتضخم الشمس إلى كيان أحمر عملاق وتبخر الأرض، وربما يكون الكون قد تدمر في عملية الانسحاق الشديد. سندع الفيلسوف لدينا يتأمل تداعيات نظرية تتطلب أن تتجاوز فترة الملاحظات العمر الزمني للنظام.

في النظم الأخرى، مثل سلسلة ألعاب الروليت، ربما يكون الوقت الفاصل بين ملاحظات الحالات المشابهة أقل كثيرا. وببطء يجري إحلال محاولات بناء نماذج مستقاة من تدفقات البيانات محل البحث عن أبعاد مستقاة من تدفقات البيانات تدريجيا. كان من المتوقع أن الأمر يتطلب دوما بيانات أقل لبناء نموذج جيد أكثر مما يتطلبه الحصول على تقدير دقيق للأبعاد، وهو ما يعتبر إشارة أخرى إلى أنه من الأفضل كثيرا تركيز الانتباه إلى الديناميكيات أكثر من الإحصاءات التقديرية. على أي حال، دفعت الحماسة الناتجة عن بناء هذه النماذج الجديدة القائمة على البيانات الكثير من الفيزيائيين للدخول إلى ما كان إلى حد كبير مقصورا على مجال عمل الإحصائيين. بعد مرور ربع قرن، كان أحد آثار نظرية تاكنس الكبرى هو دمج أسلوب الإحصائيين في نمذجة النظم الديناميكية مع أسلوب الفيزيائيين، ولا تزال الأساليب تتطور، وربما سيظهر أسلوب مركب حقيقي يجمع بين الأسلوبين.

البيانات البديلة

أثارت صعوبة التعامل مع التقديرات الإحصائية في النظم اللاخطية موجة من الاختبارات الإحصائية الجديدة المهمة باستخدام «بيانات بديلة». يستخدم العلماء البيانات البديلة في محاولة منهجية لتقويض نظرياتهم المفضلة وإبطال نتائجهم الأثيرة، بينما لا يؤدي كل اختبار يفشل في دحض إحدى النتائج إلى ترسيخها، تعتبر معرفة أوجه القصور في إحدى النتائج أمرا جيدا دوما.

تهدف اختبارات البيانات البديلة إلى توليد سلاسل زمنية تشبه بيانات الملاحظات، لكنها تستقى من نظام ديناميكي معروف، ومناط الأمر هنا هو أن هذا النظام معروف بأنه ليس لديه الخاصية المأمول اكتشافها؛ فهل نستطيع التخلص من النتائج التي تبدو واعدة لكنها ليست كذلك في حقيقة الأمر (تسمى نتائج إيجابية زائفة) من خلال تطبيق التحليل نفسه على بيانات الملاحظات، ثم على مجموعات البيانات البديلة الكثيرة؟ نعرف من البداية أن البيانات البديلة قد لا تسفر إلا عن نتائج إيجابية زائفة؛ لذا إذا لم يسهل تمييز مجموعة بيانات الملاحظات عن البيانات البديلة، إذن فسينطوي التحليل على بعض التداعيات العملية. ماذا يعني هذا عمليا؟ حسنا، هب أننا نأمل في «تحديد نمط فوضوي»، ثم اتضح أن أس ليابونوف التقديري كان يساوي 0,5، هل هذه القيمة أكبر كثيرا من الصفر؟ إذا كانت كذلك، فسيتوافر لدينا إذن دليل على أحد اشتراطات الفوضى.

بالطبع، 0,5 أكبر من صفر. السؤال الذي نرغب في الإجابة عنه هو: هل التذبذبات العشوائية في قيم أس تقديري ستميل على الأرجح إلى أن تبلغ قيمة كبيرة مثل 0,5 في نظام: (أ) ولد سلاسل زمانية متشابهة في شكلها، و(ب) لم تكن قيمة أس ليابونوف الحقيقية الخاصة به أكبر من صفر؟ نستطيع أن نولد سلسلة زمنية بديلة، ونقدر قيمة الأس استقاء من هذه السلسلة البديلة. في حقيقة الأمر، يمكننا توليد 1000 سلسلة زمنية بديلة مختلفة، فنحصل على 1000 قيمة أسية مختلفة. ربما نطمئن حينئذ إلى نتيجتنا إذا كانت معظم القيم الألف المستقاة من السلاسل البديلة أقل كثيرا من قيمة 0,5، لكن إذا كان تحليل البيانات البديلة يفضي عادة إلى قيم آساس أكبر من 0,5، إذن فسيصعب الادعاء بأن تحليل البيانات الحقيقية يقدم برهانا على أن قيمة أس ليابونوف أكبر من صفر.

Halaman tidak diketahui