قال ايرن من اجل ان الرياضى برهن على هذا الشكل بان صير الخطوط فى الجهة الواحدة فينبغى ان نبرهن ببرهان اخر كما فعلنا فى الشكل المتقدم فنقول انه اذا فرض خطان مستقيمان عن جنبتى القطر احدهما اقرب الى المركز والاخر ابعد عنه فان اقربهما اليه يكون اعظم من ابعدهما مثال ذلك انا نفرض دائرة ابج ونخرج قطرها وهو خط بج على استقامة الى نقطة د ونخرج من د الى دائرة ابج خطين اخرين مستقيمين عن جنبتى القطر وهما خطا دا ده وخط دا اقرب الى المركز من خط ده فاقول ان خط اد اعظم من خط ده برهانه انا نستخرج مركز الدائرة كما بينا اخراجه ببرهان ا من ا وليكن نقطة ز ونخرج من نقطة ز الى خطى اد ده عمودى زح زط كما تبين اخراجه ببرهان يب من ا فمن اجل ان خط اد اقرب الى نقطة ز من خط ده فان عمود زح اصغر من (مجموع) عمود زط وايضا فمن اجل ان مربع خط دح مع مربع خط زح مساو لمربع خط دز وذلك بحسب برهان مو من ا وكذلك مربع خط دط مع مربع خط طز مساو لمربع خط دز فمجموع مربعى دح حز مس[او] لمجموع مربعى دط طز لكن مربع خط حز اصغر من مربع خط طز فاذا اسقطناهما بقى مربع خ[ط دح] اعظم من مربع خط دط فخط دح اعظم من خط دط وايضا فان خط از مثل خط زه [لانهم]ا خرجا من المركز الى المحيط لكن مجموع مربعى خطى زح اح مساو لمربع خط از ومجموع مربعى خطى زط طه مساو [لمربع] خط زه فمجموع مربعى خطى زط طه اذا مساو لمجموع مربعى خطى زح حا لكن مربع خط زح اصغر من مربع خط زط فاذا اسقطناهما بقى مربع خط اح اعظم من مربع خط طه وكنا بينا ان خط دح اعظم ايضا من خط دط فخط دا اذا اعظم من خط ده وذلك ما ارذنا ان نبين. ونبين ايضا ان الخطوط التى تلقى تقبيب الدائرة ما كان منها اقرب الى الخط الذى بين العلامة وبين القطر يكون اصغر من ما كان منها ابعد عنه ونفعل ذلك ايضا فى خطين مستقيمين يكونان عن جنبتى الخط الذى بين العلامة والقطر فننزل ان الدائرة ابج وقطرها خط بج ونخرج خط بج على استقامة الى نقطة د ونخرج من نقطة د الى تقبيب الدائرة خطى ده دز ونجعل خط ده اقرب الى خط دج من خط دز فاقول ان خط ده اصغر من خط دز برهانه انا نخرج خطى ده دز الى اخمص الدائرة فليخرجا الى نقطتى اح ونطلب مركز الدائرة وهو نقطة ط ونخرج من نقطة ط عمودى طڪ طل ونصل بين نقطتى طه ونقطتى طز بخطى طه طز فمن اجل ان زاوية دهط خارج مثلث هڪط وزاوية هڪط قائمة فان بحسب برهان يو من ا تكون زاوية دهط اعظم من زاوية هڪط فزاوية دهط اذن منقرجة وكذلك يتبين ان زاوية دزط منفرجة فمثلثا دهط دزط منفرجا الزاوية وكل زاوية منفرجة فان مربع الضلع الذى يوتر الزاوية المنفرجة مساو لمجموع المربعين الكائنين من الضلعين المحيطين بالزاوية المنفرجة مع ضعف السطح الذى يحيط به احد الضلعين المحيطين بالزاوية المنفرجة الذى يقع على استقامة العمود والخط الذى بين العمود وطرف الزاوية المنفرجة وذلك بحسب برهان يب من ب فالمربعان الكائنان من ضلعى ده هط مع ضعف السطح الذى يحيط به خطا ده هڪ مساو لمربع خط دط وكذلك مجموع مربعى خطى دز زط مع ضعف السطح الذى يحيط به خطا دز زل مساو لمربع خط دط فمجموع مربعى خطى دز زط مع ضعف السطح الذى يحيط به خطا دز زل مساو لمجموع مربعى خطى ده هط مع ضعف السطح الذى يحيط به خطا ده هڪ فمن اجل ان هڪ مساو لخط ڪا وخط زل مساو لخط لح وذلك بحسب برهان ج من ج فانه بحسب برهان ا من ب يكون ضعف السطح الذى يحيط به خطا ده هڪ مساويا للسطح الذى يحيط به خطا ده ها وكذلك ضعف السطح الذى يحيط به خطا دز زل مساو للسطح الذى يحيط به خطا دز زح فالسطح الذى يحيط به خطا اه هد مع المربع الكائن من خط ده مساو للسطح الذى يحيط به خطا حز زد مع المربع الكائن من خط دز لكن بحسب برهان ج من ب فان السطح الذى يحيط به خطا اه هد مع المربع الكائن من خط ده مساو للسطح الذى يحيط به خطا اد ده وكذلك السطح الذى يحيط به خطا حز زد مع المربع الكائن من خط دز مساو للسطح الذى يحيط به خطا حد دز فالسطح اذن الذى يحيط به خطا اد ده مساو للسطح الذى يحيط به خطا حد دز وقد بينا ان خط اد اعظم من خط حد لانه اقرب الى المركز فخط ده اذن اصغر من خط دز وذلك ما اردنا ان نبين.

[chapter 10: III 9] الشكل التاسع من المقالة الثالثة

पृष्ठ 40