واعلم يا أخي بأن من خاصية العدد أنه يقبل التضعيف والزيادة بلا نهاية، ويكون ذلك على خمسة أنواع: فمنها «على النظم الطبيعي» مثل هذا بالغا ما بلغ: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12، ومنها «على نظم الأزواج» بالغا ما بلغ مثل هذا 2 4 6 8 10 12 14، ومنها «على نظام الأفراد» بالغا ما بلغ مثل هذا 1 3 5 7 9 11 13 15 17، ومنها «بالطرح» كيفما اتفق كما يوجد في سائر الحساب، ومنها «بالضرب» كما نبين بعد.

فصل

واعلم يا أخي، أيدك الله وإيانا بروح منه، بأن لكل نوع من هذه الأنواع عدة خواص، وقد ذكر ذلك في كتاب الأرثماطيقي بشرح طويل، ولكن نذكر منها طرفا في هذا الفصل؛ فنقول:

إن من خاصية النظم الطبيعي أنه إذا جمع من واحد إلى حيث ما بلغ يكون المجموع مساويا لضرب ذلك العدد الأخير بزيادة واحد عليه في نصفه، مثال ذلك إذا قيل: كم من واحد إلى عشرة مجموعا على النظم الطبيعي؟ فقياسه أن يزاد على العشرة واحد ثم يضرب في نصف العشرة فيكون خمسة وخمسين، أو تضرب الخمسة في نفسها فيكون خمسة وعشرين ثم في النصف الآخر الذي هو ستة فيكون ثلاثين، الجملة خمسة وخمسون وذلك بابه المطلوب وقياسه.

وأما نظم الأزواج فهو مثل واحد اثنين أربعة ستة ثمانية عشرة اثني عشر، وعلى هذا المثال بالغا ما بلغ، ومن خاصية هذا النظم أن يكون المجموع أبدا فردا ، ومن خاصيته أيضا أنه إذا جمع على نظمه الطبيعي من واحد إلى حيث ما بلغ يكون المجموع مساويا لضرب ذلك العدد في النصف الآخر بزيادة واحد ثم يزاد على الجملة واحد؛ مثال ذلك إذا قيل لك: كم واحد إلى العشرة مجموعا على نظم الأزواج؟ فقياسه أن تأخذ نصف العشرة فتزيد عليه واحدا، ثم تضربه في النصف الآخر ثم تزيد على الجملة واحدا فذلك أحد وثلاثون، وعلى هذا القياس سائر الأعداد.

وأما نظم الأفراد فمثل واحد، ثلاثة، خمسة، سبعة، تسعة، أحد عشر، بالغا ما بلغ، فمن خاصيته أنه إذا جمع على نظمه الطبيعي يكون المجموعان الواحد زوج والآخر فرد، يتلو بعضها بعضا، بالغا ما بلغ، وتكون كلها مجذورات، ومن خاصيته أيضا أنه إذا جمع على نظمه الطبيعي من واحد إلى حيث ما بلغ فإن المجموع يكون مساويا لضرب نصفه مجذورا مجبورا في نفسه، مثال ذلك إذا قيل: كم من واحد إلى أحد عشر؟ فبابه أن تأخذ نصف العدد وهو خمسة ونصف فتجبره فيصير ستة فتضربه في نفسه فيكون ستة وثلاثين، وذلك بابه فقس عليه.

•••

واعلم يا أخي، أيدك الله وإيانا بروح منه، بأن معنى الضرب هو تضعيف أحد العددين بقدر ما في الآخر من الآحاد، مثال ذلك إذا قيل: كم ثلاثة في أربعة، فمعناه: كم جملة ثلاثة أربع مرات؟

واعلم يا أخي بأن العدد نوعان صحيح وكسور - كما بينا قبل - فصار أيضا ضرب العدد بعضه في بعض نوعين: مفرد ومركب، فالمفرد ثلاثة أنواع: الصحيح في الصحيح مثل اثنين في ثلاثة وثلاثة في أربعة وما شاكله، ومنها الكسور في الكسور مثل نصف في ثلث وثلث في ربع وما شاكله، ومنها الصحيح في الكسور مثل اثنين في ثلث أو ثلث في أربعة ما شاكله، وأما المركب فهو أيضا ثلاثة أنواع: فمنها الكسور والصحيح في الصحيح مثل اثنين وثلث في خمسة وما شاكلها، ومنها الصحيح والكسور في الصحيح والكسور مثل اثنين وثلث في ثلاثة وربع وما شاكلها، ومنها الصحيح والكسور في الكسور مثل اثنين وثلث في سبع.

فصل

अज्ञात पृष्ठ