ما من إجراء بناء سيثبت اتساق نظرية مجموعة المسلمات.

إن ما تقوله مبرهنة جودل الأولى في الأساس هو أنه ستظل هناك أسئلة لا تستطيع الرياضيات الإجابة عنها، أيا كانت مجموعة المسلمات المستخدمة: أي إن الاكتمال لا يمكن أن يتحقق أبدا. والأسوأ من ذلك أن المبرهنة الثانية تقول إن علماء الرياضيات لا يمكن أبدا أن يتيقنوا من أن المسلمات التي اختاروها لن تؤدي إلى تضارب: أي إن إثبات الاتساق غير ممكن أبدا. لقد أوضح جودل أن برنامج هيلبرت كان مهمة مستحيلة.

بعد ذلك بعقود، ذكر برتراند راسل في كتابه «صور من الذاكرة»، ردة فعله بشأن اكتشاف جودل:

كنت أريد اليقين على النحو الذي يريده الناس في الإيمان الديني. وقد ظننت أن اليقين سيوجد في الرياضيات أكثر مما يوجد في أي مجال آخر. غير أنني اكتشفت أن العديد من البراهين الرياضية التي كان المعلمون يتوقعون مني أن أتقبلها، مليئة بالمغالطات، وأنه إذا كان من الممكن اكتشاف اليقين في الرياضيات بالفعل، فسوف يكون ذلك في مجال جديد في الرياضيات يتمتع بأساسات أكثر رسوخا من تلك التي كان يعتقد حتى ذلك الوقت أنها ثابتة. بالرغم من ذلك، فمع مواصلة العمل، كنت أتذكر حكاية الفيل والسلحفاة باستمرار. فبعد أن صممت فيلا يمكن للعالم الرياضي أن يستقر عليه وجدت الفيل يترنح، وبدأت في تصميم سلحفاة لكي تمنع الفيل من السقوط. غير أن السلحفاة لم تكن أكثر ثباتا من الفيل، وبعد حوالي عشرين عاما من العمل الشاق، توصلت إلى استنتاج أنه ما من شيء آخر يمكنني القيام به في سبيل جعل المعرفة الرياضية يقينية.

وبالرغم من أن مبرهنة جودل الثانية تقول باستحالة إثبات اتساق المسلمات، فإن هذا لا يعني بالضرورة أنها متضاربة. فقد كان العديد من علماء الرياضيات لا يزالون يعتقدون في صميم قلوبهم أن الرياضيات ستظل متسقة، لكنهم لم يستطيعوا إثبات ذلك عقليا. لقد كان عالم نظرية الأعداد العظيم أندريه ويل يقول: «الإله موجود لأن الرياضيات متسقة، والشيطان موجود لأننا لا نستطيع إثبات ذلك.»

إن برهان مبرهنتي جودل لعدم الاكتمال معقد للغاية، والحق أن التعبير الأدق عن المبرهنة الأولى يجب أن يكون على النحو التالي:

في أي نظام صوري متسق يمكن إجراء قدر معين من العمليات الحسابية في إطاره، توجد صيغ رياضية للنظام لا يمكن إثباتها أو نفيها من داخل النظام نفسه.

ومن حسن الحظ أنه، مثلما هي الحال مع مفارقة راسل وحكاية أمين المكتبة، يمكن توضيح مبرهنة جودل الأولى عن طريق قياس منطقي آخر بفضل إيبيمينيداس، وتعرف أيضا بمفارقة الكريتي أو مفارقة الكاذب. كان إيبيمينيداس رجل كريتي قد صاح:

أنا كاذب!

وتنشأ المفارقة حين نحاول أن نحدد ما إذا كانت هذه العبارة صحيحة أم خاطئة. فلنر أولا ما يحدث حين نفترض أن العبارة صحيحة. إذا كانت العبارة صحيحة، فإن هذا يعني أن إيبيمينيداس كاذب، لكننا افترضنا في البداية أنه قد صرح بعبارة صحيحة؛ إذن فهو ليس بكاذب، وبهذا تكون لدينا حالة من التضارب. ولنر الآن ما يحدث حين نفترض أن العبارة خاطئة. إذا كانت العبارة خاطئة، فإن هذا يعني أن إيبيمينيداس ليس بكاذب، لكننا قد افترضنا في البداية أنه قد صرح بعبارة خاطئة؛ إذن فهو كاذب، وبهذا تكون لدينا حالة أخرى من التضارب. سواء افترضنا أن العبارة صحيحة أو افترضنا أنها خاطئة، ينتهي بنا الأمر إلى حالة من التضارب؛ ومن ثم، فإن العبارة ليست بالصحيحة ولا بالخاطئة.

अज्ञात पृष्ठ