وهذا العدد الجديد ، ، إما أن يكون أوليا أو غير أولي. فإذا كان أوليا، فسنكون قد نجحنا في تكوين عدد أولي جديد أكبر، إذن فلم تكن قائمتنا الأصلية للأعداد الأولية مكتملة. ومن الناحية الأخرى، إذا لم يكن

من الأعداد الأولية؛ فلا بد أنه يقبل القسمة على أحد الأعداد الأولية دون أن يكون هناك باق للقسمة. ولا يمكن أن يكون هذا العدد الأولي من الأعداد الأولية المعروفة؛ لأن قسمة

على أي من هذه الأعداد، لا بد أن تترك باقيا للقسمة، هو العدد 1. ومن ثم فلا بد من وجود عدد أولي جديد يمكننا أن نسميه .

والآن نكون قد وصلنا إلى المرحلة التي إما أن يكون فيها

عددا أوليا جديدا، أو يكون لدينا عدد أولي جديد هو . وفي كلتا الحالتين، نكون قد أضفنا إلى قائمتنا الأصلية للأعداد الأولية. يمكننا الآن تكرار هذه العملية مع ضم (

أو ) إلى قائمتنا الأصلية وتوليد عدد جديد . وهذا العدد الجديد إما أن يكون عددا أوليا جديدا آخر، أو سنحتاج إلى وجود عدد أولي جديد: ، لا يرد في قائمة الأعداد الأولية المعروفة. إن جوهر هذه الحجة المنطقية هو أننا نستطيع دوما إيجاد عدد جديد، بصرف النظر عن طول القائمة. إذن؛ فقائمة الأعداد الأولية لا نهائية.

فكيف يمكن لشيء أصغر دون شك من كمية لا نهائية، أن يكون لا نهائيا هو أيضا؟ لقد قال عالم الرياضيات الألماني، ديفيد هيلبرت ذات مرة: «اللانهائية! ما من سؤال آخر قد حرك روح الإنسان بهذا العمق، وما من فكرة أخرى قد حفزت عقله على هذا النحو المثمر، بالرغم من ذلك، فما من مفهوم آخر لا يزال يحتاج إلى قدر كبير من التوضيح من مفهوم اللانهائية.» إن حل مفارقة اللانهائية يستلزم تعريف ما نعنيه باللانهائية. وقد عرفها جورج كانتور الذي كان يعمل مع هيلبرت على أنها حجم القائمة التي لا تنتهي من أعداد العد (1، 2، 3، 4، ...). ومن ثم؛ فإن أي شيء يماثلها في الحجم سيكون لا نهائيا أيضا.

ووفقا لهذا التعريف، فإن عدد الأعداد الزوجية، الذي يبدو أصغر على نحو بديهي ، هو أيضا لا نهائي. من السهل إثبات أن كمية أعداد العد، وكمية الأعداد الزوجية متماثلتان؛ إذ إننا نستطيع إيجاد مقابل زوجي لأي عدد: ...

7

6

अज्ञात पृष्ठ