Arithmetica Infinitorum ، الذي كان أحد التمهيدات المهمة لعلم التفاضل والتكامل الذي ابتكره نيوتن.

9

اعترض توماس هوبز، وهو علامة رياضي معاصر لواليس، في مقال له بأن كتاب «حساب اللانهائي» جاء تجريديا على نحو مبالغ فيه للغاية، حتى إنه يصعب على المرء حتى محاولة قراءته؛ فهو «حفنة من الرموز»، ومن ثم فإنه كان يتحدث بلسان أجيال قادمة من الطلاب الجامعيين لم تأت بعد. ومن بين الأسماء الأخرى لمصطلح «منحنى العروتين» «عقدة الحب» و«منحنى المستوى الكارتيزي الذي يحقق المعادلة ». ومن جهة أخرى، إذا تناولنا المصطلح من منظور حساب المثلثات، حيث يطلق عليه «المنحنى الذي يحقق المعادلة القطبية »، فإنه يعرف أيضا باسم «منحنى بيرنولي».

نهاية «جزء تكميلي»

الجزء 1(ج)

على ذكر موضوع التجريد ودلالات الأسماء ككل، ثمة عملية ملازمة لذلك؛ إما أن تكون تجريدا عالي المستوى، أو نوعا من الطفرات الاسمية الغريبة. كلمة «حصان» يمكن أن تعني ذلك الحصان الذي أمامنا مباشرة، أو يمكن أن تعني المفهوم المجرد، كما في «حصان = حيوان من الثدييات، له حوافر، ينتمي إلى فصيلة الخيليات.» والشيء نفسه ينطبق على كلمة «قرن» وكلمة «جبين». كل هذه الكلمات يمكن تجريدها من خصوصيتها، ورغم ذلك نظل على علم بأنها مشتقة من أمثلة خاصة بعينها. اللهم إلا ما نجده في حالة وحيد القرن، الذي يبدو أنه مزيج من مفاهيم «حصان» و«قرن» و«جبين»، ومن ثم فإن له أصله الكامل في سلسلة التجريدات. هذا معناه أنه في مقدورنا دمج التجريدات ومعالجتها لتكوين كيانات ليس لأسمائها أي دلالات خاصة على الإطلاق. وهنا تظهر المعضلة الكبرى: ما الطريقة التي يمكن بها أن نقول إن وحيد القرن موجود، وتكون مختلفة اختلافا جوهريا وأقل واقعية عن الطريقة التي توجد بها أفكار مجردة أخرى مثل «إنسانية» أو «قرن» أو «عدد صحيح»؟ وهو ما يقودنا مرة أخرى إلى السؤال: ما الكيفية التي توجد عليها الكيانات المجردة؟ أو هل هي موجودة بأية حال على الإطلاق باستثناء كونها أفكارا في عقل الإنسان - على سبيل المثال، هل هي تخيلات ميتافيزيقية؟ هذا النوع أيضا من الأسئلة يمكن أن يجعلك تلازم الفراش طوال اليوم، ويخيم على الرياضيات منذ البداية - ما الوضع الأنطولوجي للكيانات والعلاقات الرياضية؟ هل الحقائق الرياضية اكتشفت، أم أنها استحدثت ببساطة، أم أنها كلا الأمرين بطريقة ما؟ تحضرنا هنا من جديد مقولة إم كلاين: «المبادئ الفلسفية لدى الإغريق ضيقت على الرياضيات وحجمتها بطريقة ما. خلال الفترة الكلاسيكية اعتقدوا أن الإنسان لا يستحدث الحقائق الرياضية: إنها سابقة عليه في الوجود، ومن ثم يقتصر دوره على التحقق منها وتسجيلها.»

ثمة اقتباس آخر عن دي هيلبرت، العالم الجليل الذي كان أول من أيد كانتور في نظريته عن الأعداد فوق المنتهية:

لا يمكن العثور على اللامتناهي في أي مكان في الواقع، بغض النظر عن الخبرات، والملاحظات، والمعلومات المطلوبة. هل يمكن أن يكون التفكير في الأشياء مختلفا بدرجة كبيرة عن الأشياء نفسها؟ هل يمكن أن تختلف عمليات التفكير كثيرا عن العملية الفعلية للأشياء؟ باختصار، هل يمكن أن ينتزع التفكير من الواقع ويجرد إلى هذا الحد؟

صحيح أنه لا يوجد شيء أكثر تجريدا من اللانهائية، على الأقل فيما يخص مفهومنا البديهي الضبابي باللغة الطبيعية تجاه اللانهائية. إنه نوع من غاية الانسحاب عن التجربة الفعلية. لنتأمل السمة الوحيدة الأوسع انتشارا والأكثر وطأة للعالم المادي، التي مفادها أن كل شيء إلى الزوال مآله، وأنه محدود، وسوف يندثر، ثم نتصور شيئا ما بتجرد من دون هذه السمة. إن القياس على بعض الأفكار المتعلقة بالله تكون واضحة؛ فالتجريد من مختلف القيود هو أحد الأساليب التي يفسر بها الباعث الديني بمصطلحات علمانية. ويعرف هذا أيضا باسم أنثروبولوجيا الدين: كيان كامل يمكن فهم كينونته على أنها كينونة منزهة من كل النقائص التي نلاحظها في أنفسنا وفي العالم، كيان قدرته مطلقة وإرادته غير محدودة، إلخ. حقيقة أن هذا أسلوب جامد وكئيب للغاية للتحدث عن الدين هو أمر غير وارد من قريب أو بعيد؛ فالفكرة هي أنه يمكن بهذا الأسلوب نفسه بالضبط تفسير المصدر الذي استقينا منه مفهوم «اللانهائية» وما نعنيه في النهاية بكل صور لفظة «لا نهائي» و«غير منته» التي نتحاور بشأنها ونتبادل الآراء حولها. ومع ذلك، فإن كون هذا هو التفسير الحقيقي فعلا أم لا ينطوي على ما يلزمنا هذا التفسير القيام به، على نحو ميتافيزيقي. هل نريد فعلا أن نقول إن اللانهائية موجودة فقط بالطريقة التي يوجد بها وحيد القرن، وأن الأمر كله إنما يتعلق بأسلوب معالجتنا للأفكار المجردة حتى يصير مصطلح «لا نهائية» بلا مرجعية حقيقية؟ ماذا عن مجموعة الأعداد الصحيحة؟ ابدأ العد عند 1، 2، 3، وهكذا، واعلم أنك لن تتوقف أبدا، ولا أولادك من بعدك، ولا أولادهم، وهكذا. الأعداد الصحيحة لا تتوقف؛ فهي لا نهاية لها. هل مجموعة الأعداد الصحيحة تشكل لانهائية فعلية؟ أو هل الأعداد الصحيحة نفسها ليست حقيقية بالفعل، ولكنها تجريدات فحسب؛ وما هي المجموعة بالضبط؟ وهل المجموعات حقيقية أم أنها أدوات مفاهيمية فحسب، وهكذا؟ أو هل يحتمل أن تكون الأعداد الصحيحة و/أو المجموعات «حقيقية تبعا للمفهوم الرياضي» فقط في مقابل ما يعنيه كونها حقيقية بالفعل، وما هو الفرق بالضبط، وهل يحتمل أن نريد إسباغ حقيقة رياضية معينة على اللانهائية ولكن ليس النوع الآخر (بافتراض وجود نوع آخر واحد فقط)؟ وإلى أي مدى يمكن أن تصبح الأسئلة مجردة للغاية والفروق دقيقة جدا والصداع متفاقم لدرجة أننا ببساطة لم نعد نقوى على التفكير في أي من هذا أكثر من ذلك؟

إننا نواجه في مجالات مثل الرياضيات والميتافيزيقا واحدة من أغرب سمات العقل البشري للإنسان العادي، وهي القدرة على تصور الأشياء التي لا نستطيع بالأحرى إدراكها. على سبيل المثال، يمكننا أن نتصور على نحو تقريبي مفهوم القدرة المطلقة. يمكننا على الأقل استخدام كلمة «قدرة» ولدينا درجة معقولة من الثقة في أننا نعرف ماهية ما نتحدث عنه. ولكن حتى المفارقة التي يثيرها تلميذ بطرح سؤال من قبيل «هل يمكن لكائن يتمتع بقدرة مطلقة أن يصنع شيئا أثقل بكثير من أن يرفعه؟» هي ثغرات خطيرة تبرز في فهمنا اليومي للقدرة المطلقة. ولذا، ثمة نوع آخر من التجريد وثيق الصلة هنا. وهذا النوع يتعلق أكثر بالجانب النفسي وهو حديث للغاية.

अज्ञात पृष्ठ