ينتظرنا مأزق مشابه في مثال الفاكهة، الذي فيه تفضل (أ) على (ب) و(ب) على (ج)، لكنك تفضل (ب) على كل رهان يمنحك إما (أ) وإما (ج). وبما أنك تفضل (أ) على (ج)، يمكننا تعيين منفعة مقدارها 1 ل (أ) و0 ل (ج). اكتب المنفعة المعينة ل (ب) بوصفها (ز). حينئذ بما أنك تفضل (أ) على (ب)، و(ب) على (ج)، فلا بد أن تقع (ز) بين صفر و1. أنت كذلك تفضل (ب) على الرهان الذي يمنحك (أ) باحتمالية (ح) و(ج) خلاف ذلك، لكل احتمالية (ح) أقل من 1. ولما كانت المنفعة المتوقعة للرهان هي (ح)، فإن خاصية المنفعة المتوقعة ستتطلب أن تكون المنفعة (ز) الثابتة، الأقل من 1، أكبر من كل منفعة (ح) محتملة. ومرة أخرى، هذا أمر مستحيل.

ليس من قبيل المصادفة: (1) أن تنطبق خاصية المنفعة المتوقعة على مثال «المكسرات»، لا على مثالي «الخضراوات» أو «الفاكهة»، و(2) ألا يستوفى شرط الاستبدال أو الاستمرارية (أو كلاهما) في مثالي «الخضراوات» و«الفاكهة»، في حين يستوفى كلا الشرطين في مثال «المكسرات». فدائما ما تبقى خاصية المنفعة المتوقعة أينما يستوفى الشرطان؛ أي كلما كانت التفضيلات عقلانية. وحينئذ يكون لدينا توصيف متكامل مفاده: أن التفضيلات الخاصة بالرهانات (الاحتمالية) تكون عقلانية إذا، وفقط إذا، كانت لها خاصية المنفعة المتوقعة. (2-4) بعض الإضافات

تتغير الصورة نوعا ما لو أصبح للزمن دور في الأمر. تأمل الرهانين اللذين يمنحك كل منهما مليون دولار بعد فترة عام (تحتسب من اليوم) إذا فاز رقم زوجي على عجلة الروليت، ولا يمنحانك شيئا خلاف ذلك، غير أن الرهانين غير متماثلين؛ ففي الأول تدار عجلة الروليت اليوم، بينما في الثاني تدار بعد عام. هذان الرهانان ليسا غير متماثلين وحسب، بل من غير المحتمل أن يظن أحدهم أنهما متماثلان. وعادة ما سوف تفضل الأول؛ لأن المعرفة بثروتك المستقبلية من شأنها أن تمكنك من تخطيط حياتك على مدار العام المقبل بشكل أكثر إفادة. فلو علمت أنك ستصبح ثريا، فقد تستنفد مدخراتك، أو تقترض على أساس المليون دولار المستقبلية التي تنتظرها في العام المقبل، غير أن النظرية اللازمنية التي طورناها هنا لا يمكنها التمييز بين الرهانين؛ ومن ثم لا تستطيع التعامل مع الاختيارات التي يدخل فيها الزمن الصورة بهذا الشكل.

حتى في إطار لا زمني، قد لا يكون كل شيء واضحا ومباشرا. تأمل تناقضا ظاهريا يعرف بمفارقة آليه؛ نسبة لموريس آليه (المولود عام 1911)؛ عالم الاقتصاد الحائز على جائزة نوبل. أولا: هل تفضل الرهان (محدد القيمة) (د) الذي هو:

240 دولارا باحتمالية 1.

على الرهان (ه) الذي هو:

250 دولارا باحتمالية 0,33، و240 دولارا باحتمالية 0,66، وصفر دولار باحتمالية 0,01؟

ثانيا: هل تفضل الرهان (س) الذي هو:

250 دولارا باحتمالية 0,33، وصفر دولار باحتمالية 0,67.

على الرهان (ص) الذي هو:

Shafi da ba'a sani ba