ص

3

ع

2

إذن فالمنفعة المتوقعة للرهان: (س) باحتمالية 0,2، و(ص) باحتمالية 0,3، و(ع) باحتمالية 0,5.

هي (1 × 0,2) + (3 × 0,3) + (2 × 0,5)، أو 2,1.

تذكر أننا نستطيع تعيين المنافع بطرق عدة؛ كل ما هو مطلوب أن يكون للجوائز الأفضل منافع أعلى. كمرجعية للمستقبل، لاحظ أننا إذا ضاعفنا كل المنافع، فإننا نضاعف المنفعة المتوقعة لأي رهان؛ وإذا أضفنا 7 لجميع المنافع، فإننا نضيف 7 للمنفعة المتوقعة لأي رهان. على سبيل المثال، إذا فعلنا كلا هذين الأمرين، بذلك الترتيب، تكون المنفعة المتوقعة للرهان أعلاه هي 11,2، والتي تعادل ضعف المنفعة المتوقعة القديمة مضافا إليها 7، غير أننا إذا استبدلنا بجميع المنافع قيمها التربيعية، فإن المنفعة المتوقعة الجديدة لا تكون مربع المنفعة المتوقعة القديمة؛ فالمنفعة المتوقعة الجديدة هي 4,9، في حين أن مربع المنفعة المتوقعة القديمة يساوي 4,41.

سيكون ملائما لو أننا استطعنا تعيين منافع للجوائز بطريقة تمكننا من الحكم على الرهانات ببساطة على أساس منافعها المتوقعة؛ أي من خلال تفضيل رهان على رهان ثان إذا، وفقط إذا، كان له منفعة متوقعة أعلى. وهذا يعني ، على سبيل المثال، أنك كنت ستفضل الرهان السابق على الرهان الجديد: (س ) باحتمالية 0,5، و(ص) باحتمالية 0,3، و(ع) باحتمالية 0,2.

لأن المنفعة المتوقعة للرهان الأصلي التي تبلغ، كما أشرنا، 2,1، تتجاوز المنفعة المتوقعة للرهان الجديد، والتي تساوي 1,8. إذا أمكن تعيين المنافع بهذه الطريقة؛ فإن المنافع المعينة بهذا الشكل تسمى «المنافع العددية»، أو منافع برنولي؛ نسبة لعالم الرياضيات دانييل برنولي (1700-1782)، ويقال: إن للتفضيلات «خاصية المنفعة المتوقعة.»

إذا أمكننا تعيين منافع عددية على الإطلاق، يمكننا حينئذ تعيينها بطرق عدة. هب أننا قد عينا منافع عددية للجوائز بطريقة ما. حينئذ يكون رهان (س) أفضل من رهان (ص) إذا، وفقط إذا، كان له منفعة متوقعة أعلى بموجب هذا التعيين. والآن نقوم بتعيين المنافع للجوائز بطريقة مختلفة، تكون المنفعة الجديدة المعينة لكل جائزة بموجبها ضعف منفعتها المتوقعة القديمة مضافا إليها 7. إذن يكون للرهان (س) منفعة متوقعة جديدة أعلى من (ص) إذا، وفقط إذا، كانت منفعته المتوقعة القديمة أعلى؛ أي إذا، وفقط إذا، كان أفضل من (ص)؛ ومن ثم تحتفظ المنافع العددية بخصائصها التمثيلية حين تضاعف ويضاف إليها 7. وبشكل أكثر عمومية، تحتفظ المنافع العددية بخصائصها التمثيلية حين تحول بما يعرف بالطريقة «الخطية»؛ أي عندما تضرب في أي عدد موجب (أو تقسم عليه)، أو حين يضاف أي عدد موجب إليها (أو يطرح منها). ومن الأمثلة المألوفة للتحويل الخطي التحويل بين طريقتي قياس درجات الحرارة؛ فالدرجات الفهرنهايتية هي ببساطة درجات مئوية مضروبة في 1,8، ثم أضيف إليها 32 درجة.

Shafi da ba'a sani ba