كان سيبدو مقبولا أكثر أن تتغير تفضيلاتك بسلاسة بدلا من القفز بهذا الشكل. ولإدراك ما يتضمنه ذلك بشكل عملي، أعد تفسير (أ) باعتبارها مليون دولار، و(ب) باعتبارها لا شيء، و(ج) باعتبارها موتك. يتمثل الادعاء في أنك مقابل احتمالية (ح) مرتفعة بما يكفي، ستقدم على الرهان الذي يمنحك مليون دولار بالاحتمالية (ح)، وينتج عنه موتك خلاف ذلك. إذا كان ذلك يبدو مستبعدا، فسل نفسك ما إذا كنت ستعبر شارعا مزدحما بالسيارات، متكبدا بذلك احتمالية ضئيلة لأن تلقى حتفك؛ لالتقاط مليون دولار. بشكل عام، ستكون الإجابة: نعم. ولاستبعاد القفزات في التفضيلات، قد نشترط أنك إذا فضلت رهانا على رهان ثان، وفضلت الثاني على ثالث، إذن فهناك مزيج من الرهانين الأول والثالث تعتبره مساويا للرهان الثاني. وهذا الشرط هو «شرط الاستمرارية»، ويعرف أيضا ب «شرط أرشميدس»؛ نسبة لعالم الرياضيات اليوناني أرشميدس (287-212ق.م). (قد نلاحظ بشكل عارض أن شرط الاستمرارية يقضي بالسماح للاحتمالات بالتباين والتنوع بشكل مستمر؛ لأنها إذا تنوعت فقط بدرجات قدرها 0,1، على سبيل المثال، إذن فقد تكون قد فضلت الرهان الذي يمنحك (أ) باحتمالية 0,9 و(ج) خلاف ذلك على (ب)، وفضلت (ب) على الرهان الذي يمنحك (أ) باحتمالية 0,8 و(ج) خلاف ذلك. وهذا بدوره يقتضي أن يكون هناك العديد من الرهانات الممكنة بشكل لا متناه.)

علينا مرة أخرى التحقق من أن شرطينا متسقان ومستقلان. وتجنبا للتكرار، سوف أتناول مسألة الاتساق فقط؛ فالتحقق من الاستقلالية أمر واضح وبسيط. ويوضح الاتساق من خلال المثال التالي. (2-3) مثال المكسرات

من خلال تأمل جميع الرهانات الممكنة التي تتضمن «اللوز» و«الجوز البرازيلي» و«الكاجو»، تفضل رهانا على رهان ثان، حينما يكون ضعف احتمالية الحصول على اللوز مضافا إليه احتمالية الحصول على الجوز البرازيلي في الرهان الأول؛ أكبر من العدد المناظر في الرهان الثاني.

في هذا المثال تفضل الرهان: (أ) باحتمالية (ح)، و(ب) باحتمالية (ق)، و(ج) خلاف ذلك.

على الرهان: (أ ) باحتمالية (ر)، و(ب) باحتمالية (ل)، و(ج) خلاف ذلك .

كلما كانت 2ح + ق أكبر من 2ر + ل. لاحظ أن هذا يحدد تفضيلاتك فيما بين جميع الرهانات الممكنة التي تتضمن (أ)، و(ب)، و(ج). ومن السهل توضيح أن شرطي الاستبدال والاستمرارية مستوفيان.

لما كان شرطا الاستبدال والاستمرارية متسقين ومستقلين، ويبدو على الأقل أنهما يستبعدان المشكلات التي كنت قد حددتها، يمكنني القول بأن لديك «تفضيلات عقلانية»، فيما يتعلق بالرهانات، إذا كانت التفضيلات تستوفي هذين الشرطين.

ولتوصيف العقلانية، نحتاج إلى مفهوم «المنفعة المتوقعة». تذكر أننا افترضنا أن الاختيار من الرهانات يمكن تفسيره بترتيب للأفضلية؛ بمعنى أنه يعظم المنفعة (كما ناقشنا في الفصل الثاني). إذن لما كان بوسعنا تعيين منافع لجميع الرهانات، أمكننا بالتأكيد تعيينها للرهانات المحددة القيمة؛ أي للجوائز. لنفترض أننا قد فعلنا ذلك. وعلى ذلك يتم إيجاد المنفعة المتوقعة لرهان ما بضرب منفعة كل جائزة في الاحتمالية المرتبطة بتلك الجائزة، وجمع الأرقام الناتجة. على سبيل المثال، إذا كان لديك تعيين المنفعة:

س

1

Shafi da ba'a sani ba