b

و

c

في المعادلة الإهليلجية العامة، يمكن لعلماء الرياضيات إنتاج تشكيلة لا نهائية من المعادلات، لكل منها سماتها الخاصة، لكنها تقع جميعا في نطاق القابلية للحل.

شكل 4-8: ظل جون كوتس، المشرف على وايلز في سبعينيات القرن العشرين، على تواصل مع تلميذه السابق.

درست المعادلات الإهليلجية في الأصل على يد علماء الرياضيات من اليونانيين القدماء، ومنهم ديوفانتوس الذي خصص أجزاء كبيرة من كتابه «أريثميتيكا» لاستكشاف خواصها. فيرما أيضا قد تصدى لتحدي المعادلات الإهليلجية، وكان ديوفانتوس هو مصدر إلهامه بذلك على الأرجح، ولأن بطله قد درسها، رحب وايلز بالتوسع في دراستها. وحتى بعد مرور ألفي عام، ظلت المعادلات الإهليلجية تنتج مسائل تستعصي على طلاب مثل وايلز: «إنها أبعد ما يكون عن أن تكون مفهومة على نحو تام. فيمكنني أن أطرح بشأن المعادلات الإهليلجية، الكثير من الأسئلة التي تبدو بسيطة، لكنها لم تزل عالقة. حتى بعض الأسئلة التي تناولها فيرما نفسه بالتفكير، لم تزل عالقة. إن جميع المعارف الرياضية التي عالجتها، يمكن تتبع أصولها إلى فيرما، إن لم يكن إلى مبرهنة فيرما الأخيرة.»

في المعادلات التي درسها وايلز بعد التخرج، كان تحديد العدد الدقيق للحلول أمرا صعبا للغاية؛ حتى إن الطريقة الوحيدة لتحقيق أي تقدم تمثلت في تبسيط المسألة. فمن المحال مثلا معالجة المعادلة الإهليلجية التالية مباشرة:

ويكمن التحدي في معرفة عدد ما يوجد للمعادلة من حلول بأعداد صحيحة، ومن الحلول التافهة نسبيا،

و :

0

Shafi da ba'a sani ba