4 + 18796760

4 = 20615673

4 .

فبالرغم من كل الأدلة، اتضح أن حدسية أويلر خاطئة. والواقع أن إلكيز أثبت وجود عدد كبير للغاية من الحلول لهذه المعادلة. والعبرة هنا أنه لا يمكن استخدام الدليل المستمد من أول مليون عدد لإثبات حدسية تضم كل الأعداد.

بالرغم من ذلك، فالطبيعة الخادعة التي تتسم بها حدسية أويلر، لا تعد شيئا إذا ما قورنت بحدسية الأعداد الأولية «المبالغ في تقديرها». فعند البحث في أنظمة أكبر وأكبر من الأعداد، يتضح أن العثور على الأعداد الأولية يزداد صعوبة. فبين العدد 0 والعدد 100 على سبيل المثال، يوجد 25 من الأعداد الأولية، أما بين العدد 10000000 والعدد 10000100، فلا يوجد سوى عددين أوليين. في العام 1791، حين كان كارل جاوس في الرابعة عشرة من عمره فحسب، تنبأ على نحو تقريبي بالأسلوب الذي سيستمر به تواتر الأعداد الأولية بين الأعداد الأخرى في التضاؤل. وكانت الصيغة دقيقة إلى درجة مناسبة، لكن بدا دائما أنها تبالغ قليلا في تقدير توزيع الأعداد الأولية بين الأعداد. فعند اختبار الصيغة على الأعداد الأولية حتى المليون أو المليار أو التريليون، يتضح دائما أن صيغة جاوس تبالغ بدرجة طفيفة، وكان علماء الرياضيات يميلون ميلا شديدا إلى افتراض أن ذلك سينطبق على جميع الأعداد إلى ما لا نهاية، ومن ثم؛ فقد ولدت حدسية الأعداد الأولية المبالغ في تقديرها.

وبعد ذلك، في العام 1914، أثبت جيه إي ليتلوود، وهو شريك جي إتش هاردي في العمل بجامعة كامبريدج، أن صيغة جاوس «تقلل من تقدير» عدد الأعداد الأولية، حين يكون النظام كبيرا بالدرجة الكافية. وأوضح إس سكيوز عام 1955 أن انخفاض التقدير سيحدث قبل بلوغ العدد:

10

10

10000000000000000000000000000000000 .

إن هذا العدد يتجاوز قدرات الخيال ويتجاوز أي تطبيق عملي. لقد قال هاردي عن عدد سكيوز إنه «أكبر عدد على الإطلاق يقدم أي فائدة محددة في الرياضيات.» لقد أجرى عملية حسابية تفيد بأنه إذا لعب المرء الشطرنج بجميع الجسيمات الموجودة في الكون (10

Shafi da ba'a sani ba