يغطي النقطة المناظرة لأول عدد نسبي على خط الأعداد. ونظرا إلى أن المنديل يمكن بالطبع أن يكون صغيرا حسب ما تريد، افترض - مثلا - أنك تستخدم منديلا بحجم

فقط لتغطية النقطة المناظرة للعدد النسبي التالي. ولنقل إنك سوف تستمر على هذا المنوال، بحيث يكون حجم كل منديل أحمر تستخدمه نصف حجم المنديل السابق له بالضبط، وذلك لجميع الأعداد النسبية، حتى تنتهي منها جميعا. والآن لمعرفة النسبة المئوية الكلية للحيز الذي تشغله كل النقاط المناظرة للأعداد النسبية على خط الأعداد، فكل ما عليك فعله هو أن تجمع أحجام كل المناديل الحمراء المستخدمة. يوجد بالطبع عدد لا نهائي من المناديل، ولكنها من حيث الحجم تحولت إلى حدود في متسلسلة غير منتهية، وتحديدا متسلسلة زينون الهندسية ، وباستخدام الصيغة القديمة الجيدة

لإيجاد مجموع هذه المتسلسلة، يكون الحجم الإجمالي لكل المناديل اللانهائية هو ، ولكن

صغير على نحو لا متناه، ومتناهيات الصغر (كما ذكرنا في الجزء 2) تكون قريبة على نحو لا يمكن تصوره من الصفر حتى إن أي شيء مضروب في عدد متناهي الصغر يكون أيضا متناهي الصغر، وهو ما يعني أن

هو أيضا متناهي الصغر، ويعني هذا بدوره أن كل الأعداد النسبية اللانهائية مجتمعة لا تشغل إلا جزءا متناهي الصغر من خط الأعداد - وهو ما يعني بالأساس «لا شيء» على الإطلاق

49 - بعبارة أخرى: مجموعة النقاط الكبيرة للغاية على أي خط متصل ستكون مناظرة لأعداد غير نسبية، ومن ثم على الرغم من أن خط الأعداد الحقيقية المذكور سابقا هو خط في واقع الأمر، فإن

من خط الأعداد الذي يتألف من كل الأعداد النسبية - رغم كثافته اللانهائية فيما يبدو - عبارة عن فراغ، كالحال مع الكون نفسه.

دعونا نتوقف مع أنفسنا برهة لمحاولة تخيل ما كان يجول في ذهن البروفيسور جي إف إل بي كانتور عند إثبات أمر كهذا.

قد يعترض القارئ الفطن هنا بأن البرهان أعلاه ينطوي على نوع من حيل زينون وخفته، وقد يسأل: لماذا لم تطبق طريقة مماثلة لطريقة المنديل والمتسلسلة على الأعداد غير النسبية من أجل «إثبات» أن النسبة المئوية الكلية للحيز الذي تشغله الأعداد غير النسبية من خط الأعداد هو أيضا . السبب في أن هذا البرهان لا يمكن تنفيذه هو أنه بغض النظر عن العدد اللانهائي من المناديل الحمراء التي تستخدمها، فإن الأعداد غير النسبية سوف تفوق دائما عدد المناديل. وهذا ما سوف يكون عليه الأمر دائما. وهذا ما أثبته كانتور أيضا.

هوامش

Shafi da ba'a sani ba