أو ، أو حرفيا بأي طول تريده ... وأطول. وهو ما يعني بدوره أن نقطة محددة بعينها على خط الأعداد - لتكن النقطة المناظرة لهذه الفترة، التي بضربها في نفسها تناظر نقطة العدد الصحيح 3 - لا يمكن تسميتها أو التعبير عنها بقيمة محددة.

36

وبذلك، فإن الفترة المحدودة من صفر إلى واحد على خط الأعداد تكون أكثر ازدحاما على نحو لا يمكن تصوره. لا يوجد فقط عدد لا نهائي من المتتابعات غير المنتهية من الكسور، ولكن أيضا عدد لا نهائي من الأعداد الصماء،

37

كل منها في حد ذاته لا يمكن التعبير عنه عدديا إلا على صورة متتابعة غير منتهية من الأعداد العشرية غير الدورية. دعنا نتوقف هنا لتأمل مستويات التجريد المتغيرة المتضمنة هنا، إذا كان العقل البشري لا يستطيع فهم اللانهائية أو حتى تصورها حقا، فإنه مطالب الآن على ما يبدو أن يقر عددا لا نهائيا من اللانهائيات، أي عددا لا نهائيا من العناصر الفردية التي لا يمكن التعبير عنها هي نفسها بقيمة محددة، كل ذلك في فترة محدودة وبسيطة في ظاهرها نستخدمها في قاعات الدرس للنشء الصغير. وهذا كله يبدو غريبا على نحو مدو.

توجد، بالطبع، أساليب عديدة لمعالجة هذه الغرابة بعدد ما تحمله كلمة «معالجة» من دلالات. رفض الإغريق ⋆ - على سبيل المثال - معالجة الأعداد غير النسبية ببساطة على أنها أعداد. فكانوا إما أن يصنفوها كأطوال أو مساحات من منظور الهندسة البحتة ولا يستخدموها أبدا في الرياضيات في حد ذاتها، وإما أن يجعلوا استخدام الأعداد الصماء منطقيا من خلال التلاعب بحساباتهم (مثال: كانت خدعة الفيثاغورسيين التالية هي كتابة 2 على صورة الكسر

بحيث يمكنهم التعامل مع

على أنه ).

38

وإذا كان رفضهم الاعتراف بوجود أعداد ينتجها منطقهم الرياضي يبدو غريبا، فاعلم أنه حتى بدايات القرن الثامن عشر كان هناك عدد كبير جدا من أفضل الرياضيين في أوروبا يفعلون الشيء نفسه،

Shafi da ba'a sani ba