25

سوف نلاحظ ببساطة هنا أن من البديهي أن عبور عدد لا نهائي من النقاط التي ليس لها أبعاد رياضية غير متناقض بالكيفية التي عليها عبور عدد لا نهائي من النقاط في الحيز الفعلي. وفي هذا الصدد، يمكن أن تبدو حجة زينون شبيهة إلى حد ما بمعضلة الرجال الثلاثة في الفندق التي ذكرناها في الجزء 1: ترجمة موقف رياضي بالأساس إلى اللغة الطبيعية يقودنا إلى حد ما نحو إغفال أن الكلمات العادية يمكن أن تكون لها مفاهيم ودلالات مختلفة اختلافا كبيرا. لاحظ - مرة أخرى - أن هذا بالضبط هو ما صممت رموز الرياضيات البحتة ومخططها بحيث تتجنبه، ولهذا السبب غالبا ما تكون التعريفات الرياضية المتخصصة مكثفة ومعقدة على نحو مجهد للتفكير. لا وقت للغموض أو المواربة. فالرياضيات مصممة خصيصى لتحقيق الدقة كغاية أساسية. كل هذا يبدو جيدا، إلا أنه اتضح أن هناك أيضا قدرا هائلا من الغموض - الشكلي والمنطقي والميتافيزيقي - في كثير من المصطلحات والمفاهيم الأساسية في الرياضيات نفسها. وفي الواقع، كلما كان المفهوم الرياضي جوهريا بقدر أكبر، كان من الأصعب تعريفه. وهذا في حد ذاته إحدى الخصائص المميزة للنظم الشكلية. تصاغ أغلب التعريفات في الرياضيات من تعريفات أخرى، ومن ثم تكون المصطلحات الأصلية حقا هي الجديرة بالتعريف من البداية. ذلك على أمل، ولأسباب نوقشت من قبل، أن تكون للمصطلحات الأصلية هذه علاقة بالعالم الذي نعيش فيه جميعا.

الجزء 2(ج)

لنعد لحظة إلى زينون ودلالات كلمة «نقطة». العلاقة بين كيان رياضي (مثل المتسلسلة أو النقطة الهندسية) والحيز المادي الفعلي هي أيضا علاقة المتقطع (المنفصل) إلى المتصل (المستمر). تخيل ممرا مرصوفا بالحجر في مقابل طريق ممهد من الأسفلت الأسود اللامع. بما أن ما يحاول التقسيم الثنائي فعله هو تقسيم عملية مادية متصلة إلى متسلسلة غير منتهية من الخطوات المنفصلة، فإنه يمكن النظر إلى ذلك على أنه المحاولة الأولى من نوعها في التاريخ لتمثيل الاتصال رياضيا. لا يهم أن ما كان يحاول زينون أن يفعله فعليا هو إثبات أن الاتصال مستحيل، فما زال هو الأول. وكان هو أيضا أول من أدرك

26

أن هناك أكثر من نوع من اللانهائية. تشير كلمة «أبيرون»

to apeiron ، أي اللانهائي أو غير المحدود، في علم الكونيات لدى الإغريق إلى الامتداد المطلق، والحجم اللانهائي، ومتسلسلة الأعداد الصحيحة

التي تتحرك تصاعديا وتنازليا نحو هذا النوع نفسه من اللانهائية الكبرى. في حين يبدو - على الجانب الآخر - أن اللانهائية الصغرى لدى زينون موجودة وسط الأعداد الصحيحة العادية أو بينها. وهذه الحالة الأخيرة يصعب تصورها أو فهمها.

من الواضح أن أسهل طريقة لتمثيل هذين النوعين المختلفين من اللانهائية هي استخدام خط الأعداد القديم، وهذه ميزة أخرى لقاعة الدرس العادية للصف الثاني.

27

Shafi da ba'a sani ba