و(2) « » خطأ، فإن (3)

تكون خطأ، وباستخدام قانون الوسط المستبعد،

15

إذا كان

خطأ، فإن

لا بد أن يكون صوابا.

الكثير من البراهين العظيمة حقا والمشهورة في تاريخ الرياضيات كانت براهين بالتناقض (أي براهين بنقض الفرض). وإليكم مثالا على ذلك. إنه برهان إقليدس للفرضية 20 في الجزء التاسع من كتاب «الأصول» أو «العناصر» لإقليدس. تختص الفرضية 20 بالأعداد الأولية، وهي - حسبما تذكرها على الأرجح من أيام الدراسة - الأعداد الصحيحة التي لا تقبل القسمة على أي عدد صحيح أصغر منها، ويكون الباقي صفرا. تنص الفرضية 20 بالأساس أنه ليس ثمة ما يقال عنه العدد الأولي الأكبر. (هذا يعني بالطبع أن عدد الأعداد الأولية هو في الحقيقة لا نهائي، ولكن إقليدس أخذ يحوم حول هذا المعنى؛ إذ لم يقل صراحة إنه «لا نهائي».) وفيما يلي برهان ذلك. افترض أن هناك بالفعل عددا أوليا أكبر. دعنا نسم هذا العدد . هذا يعني أن متتابعة الأعداد الأولية ( ) بصورتها الشاملة والمنتهية: ( ) هي جميع الأعداد الأولية الموجودة.

16

لنفكر الآن في العدد الصحيح ، وهو العدد الذي تحصل عليه عند ضرب جميع الأعداد الأولية حتى

في بعضها ثم تضيف . من الواضح أن

Shafi da ba'a sani ba