لن يفكر عالم الرياضيات لدينا - بالطبع - في إجراء استقراء خارجي مثل ذلك؛ إذ لا يرى الرياضي أي تشابه بين عدد محدود من العمليات الحسابية الرقمية، كل منها غير دقيقة، وعملية حسابية دقيقة جرى تمديدها إلى المستقبل اللانهائي. من وجهة نظره، تظل قيمة أس ليابونوف عند معظم قيم

α

غير معلومة، حتى اليوم. ولكن تظل الخريطة اللوجيستية الكاملة حالة خاصة، تبين حيلة علماء الرياضيات الثانية، ألا وهي أنه باستبدال قيمة جيب

θ

بقيمة

X

في القاعدة التي تحدد الخريطة اللوجيستية الكاملة، وباستخدام بعض الدوال من حساب المثلثات، يمكن إثبات أن الخريطة اللوجيستية الكاملة «هي» الخريطة الانتقالية. وبما أن آساس ليابونوف لا تتغير في ظل هذا النوع من الحيل الرياضية، يمكن للرياضي أن يثبت أن أس ليابونوف يساوي في حقيقة الأمر وحدة بيانات واحدة عند كل تكرار، ويفسر عدم الالتزام بقانون الأعداد الكبيرة في حاشية سفلية.

آساس ليابونوف في الأبعاد المتعددة

إذا كانت حالة النموذج تتضمن أكثر من مركبة واحدة، إذن يمكن أن يسهم عدم اليقين في إحدى المركبات في عدم اليقين المستقبلي في المركبات الأخرى، وهو ما يثير مجموعة جديدة كلية من الموضوعات الرياضية؛ حيث يصبح الترتيب الذي يجري ضرب المركبات معا وفقا له أمرا مهما. سنتجنب مبدئيا هذه التفصيلات المعقدة من خلال طرح أمثلة لا تختلط حالات عدم اليقين في المركبات المختلفة فيها، بيد أننا يجب ألا ننسى بأي حال من الأحوال أن هذه الأمثلة حالات خاصة جدا!

يتألف فضاء الحالة في «خريطة الخباز» من مركبتين،

Shafi da ba'a sani ba