بالنظر إلى أن عملية حساب آساس ليابونوف تتطلب حساب متوسطات عبر فترات زمنية غير محدودة وتحصر الانتباه في حالات عدم اليقين اللامتناهي الصغر، فإن استخدام هذا الأس في التعريف الاصطلاحي للفوضى الرياضية يلقي هذا العبء على تحديد إن كان نظام ما فوضويا أم لا. الميزة هنا هي أن هذه الخواص نفسها تجعل أس ليابونوف صورة حية للنظام الديناميكي المتضمن. يمكننا أخذ فضاء الحالة ومطه، وطيه، وليه، وتغيير شكله تغييرا طفيفا، دون أن يتغير أس ليابونوف . يقدر علماء الرياضيات هذا الاتساق أيما تقدير؛ ومن ثم تحدد آساس ليابونوف إن كان نظام ما يتضمن اعتمادا حساسا أم لا. إذا كان أس ليابونوف الرئيسي موجبا ، إذن يكون هناك نمو «أسي في المتوسط» لحالات عدم اليقين اللامتناهي الصغر، ويعد أس ليابونوف الموجب شرطا أساسيا للفوضى، إلا أن الخصائص نفسها التي تمنح أس ليابونوف حيويته تجعله صعب القياس في النظم الرياضية، وربما مستحيل القياس في النظم الديناميكية الطبيعية. في الوضع المثالي، يجب أن يساعدنا ذلك على التمييز بوضوح بين الخرائط الرياضية والنظم الطبيعية (الفيزيائية).

بينما لا يوجد بديل لأس ليابونوف الذي يتميز بجاذبيته من الناحية الرياضية، ثمة كميات أكثر ارتباطا لقياس القابلية للتوقع؛ فمعرفة متوسط الزمن الذي يستغرقه قطار للانتقال من أكسفورد إلى وسط لندن الأسبوع الماضي يرجح أن يقدم لنا فكرة حول الوقت الذي سيستغرقه القطار اليوم، أكثر من قسمة طول المسافة بين أكسفورد ولندن على متوسط سرعة جميع القطارات التي سارت عبر إنجلترا منذ بداية تسيير حركة القطارات. تقدم لنا آساس ليابونوف متوسط سرعة، بينما يقدم لنا زمن التضاعف متوسط أزمنة. بطبيعتها، لا ترتبط آساس ليابونوف بأي توقع محدد.

انظر إلى مجموعة الخرائط في الشكل رقم

3-2 . كيف يمكن حساب آساس ليابونوف أو أزمنة التضاعف فيها؟ نرغب في قياس التمدد (أو الانكماش) الذي يجري قرب مسار مرجعي، ولكن إذا كانت خرائطنا لا خطية فستعتمد كمية التمدد على مدى بعدنا عن المسار المرجعي. إن اشتراط بقاء عدم اليقين على مسافة قريبة لا متناهية الصغر من المسار المرجعي يجنبنا هذه الصعوبة المحتملة. بالنسبة إلى النظم الأحادية البعد، يمكننا النظر إلى منحنى الخريطة عند كل نقطة على نحو يتفق مع المعايير. نهتم بمقدار زيادة عدم اليقين عبر الزمن. لدمج مقدار الزيادة، يجب علينا أن نضرب مرات الزيادة جميعها معا. إذا تضاعفت قيمة فاتورة بطاقتي الائتمانية في أحد الأيام، ثم ازدادت قيمتها بمقدار ثلاث مرات في اليوم التالي، فإن الزيادة الإجمالية بلغت ست مرات القيمة الابتدائية، وليس خمسا، وهو ما يعني أن حساب متوسط الزيادة لكل تكرار يتطلب حساب «متوسط هندسي». هب أن عدم اليقين يزيد بعامل ثلاثة عند التكرار الأول، ثم بعامل اثنين، ثم أربعة، ثم ثلث، ثم أربعة ؛ وهو ما يمثل إجمالا عامل 32 خلال خمسة تكرارات؛ لذا تصبح الزيادة في المتوسط بعامل اثنين لكل تكرار، بما أن الجذر الخماسي لقيمة 32 يساوي اثنين؛ بصورة أخرى: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. لا نهتم كثيرا هنا بالمتوسط الحسابي؛ حيث إن 32 مقسومة على 5 تساوي 6,4، ولم تحدث زيادة في عدم يقيننا «قط» بهذا القدر في يوم واحد. لاحظ أيضا أنه على الرغم من أن عامل متوسط الزيادة اثنان يوميا، كانت العوامل اليومية الفعلية 3، 2، 4، 1 / 3، 4. ولم تكن الزيادة منتظمة وتقلص عدم اليقين حقيقة في أحد الأيام. إذا كان بمقدورنا المراهنة على جودة توقعاتنا في نظام فوضوي، وإذا كان بمقدورنا المراهنة على كميات مختلفة في أيام مختلفة، فثمة أوقات إذن نصبح فيها أكثر ثقة «كثيرا» في المستقبل. ثمة خرافة أخرى تندحر، ألا وهي أن الفوضى لا تستلزم استحالة أي توقع. في حقيقة الأمر، إذا كان لك أن تتحدى شخصا ما يعتقد اعتقادا راسخا أن توقع الفوضى مسألة خاسرة دوما، فأنت في موضع يمكنك من تلقينه درسا.

لقد أفضت حقيقة أن بعض أبسط حالات الفوضى (وأكثر الأمثلة شيوعا) تتضمن حالات ميل ثابت إلى التعميم المفرط القائل بأن الفوضى غير قابلة للتوقع على نحو منتظم. بمراجعة النظم الفوضوية الستة في الشكل رقم

3-2 ، نلاحظ أن في أربعة منها (الخريطة الانتقالية، وخريطة الخيمة، وخريطة الأرباع، وخريطة الخيمة ذات التضعيف الثلاثي)، يتساوى مقدار الميل. على الجانب الآخر، في الخريطة اللوجيستية، وخريطة موران-ريكر، يختلف الميل كثيرا عند قيم

X

المختلفة. بما أن ميلا بقيمة مطلقة أقل من واحد يشير إلى تقلص عدم اليقين، تظهر الخريطة اللوجيستية زيادة كبيرة في عدم اليقين عند اقتراب قيم

X

من الصفر أو من الواحد، وتقلصا في عدم اليقين عند اقتراب قيم

Shafi da ba'a sani ba