q

هذه مع القابلية للتوقع، وتعكس هذه الأزمنة مباشرة الزمن الذي نتوقع أن يستغرقه عدم يقيننا في كل توقع محدد ليمر بحد معين من الحدود مهم بالنسبة إلينا. يقدم متوسط زمن تضاعف عدم اليقين المعلومات نفسها التي يؤخذ متوسطها عبر عدة توقعات تعتمد على هذا النموذج. وبينما يعد الحصول على رقم واحد أمرا ملائما، فإن هذا المتوسط قد لا ينطبق على أي حالة أولية على الإطلاق.

يمثل متوسط زمن تضاعف عدم اليقين إجراء إحصائيا مفيدا لقياس القابلية للتوقع. غير أن تعريف الفوضى الرياضية لم يوضع بالارتباط مع إحصائيات زمن التضاعف لمرتين (أو أي تضاعف

q )، بل وضع ليكون مرتبطا ب «أس ليابونوف» الذي سنعرفه لاحقا، وهو ما يعد أحد الأسباب في أن الفوضى والقابلية للتوقع لا ترتبطان ارتباطا وثيقا مثلما هو شائع. بينما يقدم متوسط زمن التضاعف مؤشرا أكثر عملية على القابلية للتوقع على نحو يتفوق على أس ليابونوف، ينقص هذا الأسلوب ميزة نظرية مهمة يقدرها علماء الرياضيات أيما تقدير، وهي ميزة - مثلما سنرى - يحظى بها أس ليابونوف.

تعرف الفوضى على المدى الطويل. يقتصر وجود النمو الأسي المنتظم في عدم اليقين على أبسط النظم الفوضوية. في حقيقة الأمر، يعد النمو المنتظم نادرا بين النظم الفوضوية التي تظهر عادة «نموا أسيا فعالا»، أو ما يطلق عليه أيضا نمو أسي في المتوسط. يحسب المتوسط في حدود رقم لا نهائي من التكرارات، ويطلق على الرقم المستخدم في قياس هذا النمو «أس ليابونوف». فإذا كان النمو أسيا بحتا، وليس أسيا في المتوسط، فيمكن قياسه من خلال التمثيل الرياضي

λ t ، حيث تمثل

t

الزمن و

λ

أس ليابونوف. يتألف أس ليابونوف من وحدات بيانات عند كل تكرار، ويشير الأس الموجب إلى عدد وحدات البيانات التي زادها عدم يقيننا «في المتوسط» بعد كل تكرار. يتضمن أي نظام عددا من آساس ليابونوف بقدر ما يوجد من اتجاهات في فضاء حالته، وهو ما يساوي نفس عدد المركبات التي تؤلف الحالة. للسهولة، تدرج الآساس في ترتيب تنازلي، ويطلق على الأس الأول - الأكبر - عادة «أس ليابونوف الرئيسي». في الستينيات، أكد العالم الرياضي الروسي أوسيليدك على أن أس ليابونوف موجود في مجموعة واسعة من النظم المتنوعة، وبرهن على أنه في كثير من النظم يكون للشروط المبدئية «تقريبا كلها» آساس ليابونوف نفسها. بينما يحدد أس ليابونوف من خلال تتبع المسار اللاخطي لأحد النظم في فضاء حالة، لا تعكس هذه الآساس إلا النمو في عدم اليقين كأقرب ما يكون لذلك المسار المرجعي اللاخطي، وما دام عدم يقيننا لا متناهي الصغر فهو لا يكاد يلحق ضررا بتوقعاتنا.

Shafi da ba'a sani ba