بقمة التوزيع.

تمثل الافتراض الذي وضعته أنا وستيف بشأن الشبكات التي كنا ندرسها في أن كل هذه الشبكات سيكون توزيع الدرجات بها مشابها بالتقريب لما هو موضح في الشكل

4-1 . معنى ذلك أنها لن تظهر «درجة متوسطة» محددة جيدا فحسب، وهي الدرجة التي تشير إليها القمة الحادة، لكن معظم نقاط التلاقي أيضا سيكون لها درجات لا تختلف كثيرا عن المتوسط، بعبارة أخرى، سيتناقص التوزيع، أو يضمحل، بسرعة هائلة على جانبي المتوسط، بل إن سرعته ستصل إلى الحد الذي يصبح فيه احتمال أن يكون لدى أي فرد عدد من الأصدقاء أكبر بكثير من المتوسط أمرا غير ذي أهمية، حتى في شبكة ضخمة للغاية. بوجه عام، يعد ذلك افتراضا معقولا إلى حد بعيد. يتسم عدد كبير للغاية من التوزيعات في العالم الحقيقي بهذه السمة بالضبط، بل إنها منتشرة إلى حد أنه أصبح يشار إليها عادة بمصطلح «التوزيع الطبيعي». من منظورنا، بدت توزيعات الدرجات الطبيعية افتراضا معقولا لما ينبغي أن تبدو عليه توزيعات الدرجات في العالم الحقيقي، إضافة إلى ذلك، فإنها أوفت بمتطلب آخر لدينا، وهو ألا يكون أي فرد في الشبكة متصلا بأكثر من جزء صغير فقط من مجموعة الأفراد الكاملة.

يجدر هنا تذكر أن اهتمامنا كان منصبا على ظاهرة العالم الصغير، ومن الجلي أنه إذا كان بعض أعضاء مجموعة الأفراد متصلين بكل شخص آخر تقريبا، فستكون الشبكة صغيرة على نحو متواضع للغاية. فلتتأمل، مثلا، شبكة الخطوط الجوية؛ إذا كنت تسافر جوا إلى مكان ما، أيا كان، وإن كان ذلك من مطار صغير، فإن أول شيء ستفعله هو الطيران إلى مركز رئيسي، ومن هناك، إما أن تسافر مباشرة إلى وجهتك أو إلى مركز آخر (إلا إذا، بالطبع، كان المركز الأول هو نفسه وجهتك). وإن كنت تسافر من مدينة صغيرة إلى أخرى بالطرف الآخر من العالم، نادرا ما سيتجاوز العدد الإجمالي للمحطات التي ستحتاج إلى التوقف فيها محطتين أو ثلاث محطات، ويرجع ذلك إلى سبب بسيط، وهو أن كل مركز يكون متصلا بعدد كبير من المطارات الأخرى، بما في ذلك المراكز الأخرى، ونظرا لأننا لم نعتقد أن الشبكات الاجتماعية تعمل بهذا الأسلوب - لأنه لا يمكن لأحد أن يعرف أكثر من نسبة بالغة الصغر من إجمالي سكان العالم البالغ عددهم ستة مليارات نسمة - فقد قيدنا أنفسنا عن قصد بالشبكات ذات توزيعات الدرجات الطبيعية لمعرفة كيف يمكن للعالم أن يكون صغيرا، حتى في «غياب» المراكز الرئيسية.

كان كل ذلك معقولا ومقبولا ظاهريا تماما، لكننا ارتكبنا خطأ واحدا فادحا: لم نتحقق من صحة نتائجنا! كنا مقتنعين بعدم ملاءمة توزيعات الدرجات غير الطبيعية، حتى إننا لم نفكر مطلقا في التحقق من الشبكات التي تتضمن بالفعل توزيعات الدرجات الطبيعية وتلك التي لا تتضمنها. ظلت البيانات أمام أعيننا نحو عامين، وما كان الأمر ليستغرق أكثر من نصف ساعة للتحقق منها، لكننا لم نفعل ذلك قط. (1) الشبكات عديمة المعيار

في تلك الأثناء، كان باراباسي وألبرت يتطرقان إلى المسألة نفسها تقريبا التي كنت أنا وستيف بصددها، لكن من زاوية مختلفة تماما، فنظرا لأصول باراباسي المجرية، كان دارسا متعمقا لنظرية الرسوم البيانية التقليدية، التي تضمنت نموذج إيردوس للرسوم البيانية العشوائية، لكن كعالم فيزياء، كان باراباسي غير راض عن بعض أكثر المتطلبات صرامة لنماذج الرسوم البيانية العشوائية، وتساءل عن الأسرار التي من المحتمل ألا يكون قد كشف عنها بعد في الكميات الضخمة من بيانات الشبكات الحقيقية التي تتاح على نحو متزايد. تتمثل إحدى السمات الأساسية للرسم البياني العشوائي في أن توزيع الدرجات الخاص به يكون له دائما شكل رياضي محدد، وهو الشكل الذي يستمد اسمه من اسم سايمون ديني بواسون تكريما له، وهو عالم رياضيات فرنسي عاش في القرن التاسع عشر ودرس فئة العمليات العشوائية التي ينشأ هذا الشكل نتيجة لها. و«توزيع بواسون» ليس متطابقا مع التوزيع الطبيعي، لكنهما متشابهان بدرجة كافية تغنينا عن ذكر الاختلافات بينهما هنا. جوهريا، ما فعله باراباسي وألبرت هو إيضاح أن الكثير من شبكات العالم الحقيقي تتضمن توزيعات درجات لا تتشابه مطلقا مع توزيع بواسون، وهي تتبع، بدلا من ذلك، ما يعرف باسم «قانون القوة».

شكل 4-2: أحد توزيعات قانون القوة. مع أن هذا التوزيع ينخفض سريعا بمعدل (د)، فإنه يفعل ذلك على نحو أبطأ بكثير من التوزيع الطبيعي الموضح في الشكل

4-1 ، مما يشير إلى أن القيم الكبيرة ل (د) تكون أكثر احتمالا.

قوانين القوة هي نوع آخر من التوزيع شديد الانتشار في النظم الطبيعية، مع أن أصلها أكثر غموضا من أصول التوزيعات الطبيعية، مثل توزيع بواسون، وتتسم قوانين القوة بسمتين تجعلانها مختلفة تماما عن التوزيعات الطبيعية؛ أولا، وعلى عكس التوزيع الطبيعي: لا يتضمن قانون القوة قمة عند القيمة المتوسطة له، بل هو يبدأ - كما هو موضح في الشكل

4-2 - عند قيمته القصوى، ثم يقل بشدة عبر امتداده إلى ما لانهاية. ثانيا: يكون المعدل الذي يضمحل به قانون القوة أبطأ بكثير من معدل اضمحلال التوزيع الطبيعي، مما يشير إلى احتمال أكبر بكثير لوقوع أحداث متطرفة. فلتقارن، مثلا، توزيع أحجام الأفراد في مجموعة كبيرة من البشر بتوزيع أحجام المدن. يبلغ متوسط طول أي ذكر أمريكي بالغ نحو 175 سنتيمترا، ومع أن هناك الكثير من الرجال أقصر أو أطول من ذلك، فلا يقترب طول أي أحد من ضعف هذه القيمة (ثلاثة أمتار ونصف تقريبا!) أو نصفها (أقل من متر واحد). وعلى النقيض من ذلك، فإن عدد السكان بمدينة نيويورك، الذي يزيد عن ثمانية ملايين شخص، يبلغ 300 مرة تقريبا حجم مدينة مثل إيثاكا. مثل هذه الاختلافات المفرطة لا يمكن تصورها في توزيع طبيعي، لكنها معتادة للغاية في قوانين القوة.

Shafi da ba'a sani ba