Lobatchevski (1793-1856م). فلوباتشفسكي قد بدأ بمصادرة مرتبطة ببقية مصادرات الهندسة الإقليدية، وهي تنحصر في قضية تناقض مصادرة إقليدس؛ إذ تفترض أن من الممكن مد مستقيمين لا مستقيم واحد، من نقطة خارج مستقيم، ومن هذا الأساس الأول، استنبط نظريات عدة، ونشر نتائج أبحاثه باللغة الروسية في مطبوعات جامعة قازان

Kazan

في عام 1830م. ثم نشرها باللغة الفرنسية في مجلة

Journal de Grelle

1837م، ولا شك في أن النظريات التي تكونت على هذا الأساس الجديد كانت تناقض نتائج الهندسة التقليدية. فقد تبين مثلا أن مجموع الزوايا الداخلية للمثلث لا يساوي قائمتين؛ بل هو دائما أقل من قائمتين، ولكن لوباتشفسكي لم يعثر على تناقصات «داخلية» في البناء الذي شيده على أساس معدل، ولو وجد تناقض داخلي لكان في ذلك برهان على أن مصادرة إقليدس لم تكن مستقلة عن المصادرات الأخرى في الهندسة، وأنه يمكن البرهنة عليها.

ولا شك أن اعتراضا يخطر بالذهن ها هنا: فمن الجائز أن لوباتشفسكي لم يسر في التركيب الذي شيده إلى الحد الذي يجعله يصادف التناقض الذي كان كفيلا بهدم نظرياته، وكان في الوقت ذاته كفيلا بأن يأتي أخيرا ببرهان على مصادرة إقليدس بطريق «الخلف».

غير أن هذا الاعتراض قد وجد الإجابة عنه في مؤلفات الرياضي الألماني «فيليكس كلاين

Felix Klein » (1849-1925م) والعالم الرياضي «بوانكاريه

» (1854-1912م). فقد وضع كلاين «أنموذجا إقليديا» للهندسة اللاإقليدية، ووضع بوانكارية «معجما» يمكن من ترجمة نظريات لوباتشفسكي بلغة إقليدية، وعلى ذلك، فإذا كان من الممكن الاهتداء إلى تناقض في بناء هندسة لوباتشفسكي، فإن «المعجم» يتيح تحديد هذا التناقض في بناء الهندسة الإقليدية. فمجال صحة الهندسة اللاإقليدية يعادل في عمقه تماما مجال صحة الهندسة التقليدية، أي الهندسة الإقليدية القديمة.

17

Page inconnue