4

2

إذا كان من الممكن مطابقة كل عنصر من عناصر قائمة أعداد العد، بعنصر من قائمة الأعداد الزوجية، فلا بد أن القائمتين بالحجم نفسه. وهذه الطريقة في المقارنة تقودنا إلى بعض الاستنتاجات المفاجئة، ومنها حقيقة وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية. وبالرغم من أن كانتور كان أول من تناول اللانهائية بطريقة منهجية؛ فقد تعرض في البداية لانتقادات شديدة من المجتمع الرياضي بسبب تعريفه الجذري. وفي نهاية حياته المهنية، صارت الهجمات شخصية على نحو متزايد، وقد عانى كانتور بسببها من المرض العقلي والاكتئاب الحاد. وفي نهاية المطاف بعد وفاته، صارت أفكاره تحظى بقبول واسع بصفتها التعريف الوحيد المتسق الدقيق والفعال للانهائية. وتكريما لكانتور، قال هيلبرت: «لن يبعدنا أحد عن الفردوس الذي خلقه لنا كانتور.»

واصل هيلبرت العمل وابتكر مثالا على اللانهائية، يعرف باسم «فندق هيلبرت»، الذي يصور سماتها الغريبة بوضوح. يتسم هذا الفندق الافتراضي بميزة امتلاكه لعدد لا نهائي من الغرف. وفي أحد الأيام يصل نزيل إلى الفندق ويخيب أمله حين يعرف أن جميع الغرف مشغولة، بالرغم من حجم الفندق اللانهائي. يفكر هيلبرت، موظف الفندق، برهة، ثم يؤكد للقادم الجديد أنه سيجد له غرفة فارغة. يطلب من جميع نزلائه الحاليين الانتقال إلى الغرفة التالية؛ فينتقل النزيل المقيم بالغرفة 1 إلى الغرفة 2، وينتقل النزيل المقيم في الغرفة 2 إلى الغرفة 3، وهكذا. يظل جميع من في الفندق يحظى بغرفة له؛ مما يتيح للقادم الجديد الإقامة في الغرفة الشاغرة 1. وهذا يثبت أن ما لا نهاية زائد واحد يساوي ما لا نهاية.

في الليلة التالية، يضطر هيلبرت إلى التعامل مع مشكلة أكبر كثيرا. فالفندق لا يزال ممتلئا، بينما تصل حافلة كبيرة إلى حد لا نهائي، وبها عدد لا نهائي من النزلاء الجدد. يظل هيلبرت رابط الجأش مسرورا بالتفكير في المزيد من فواتير الفندق اللانهائية. فيطلب من جميع نزلائه الحاليين الانتقال إلى الغرفة التي يكون رقمها ضعف رقم غرفتهم الحالية. ومن ثم؛ ينتقل النزيل المقيم في الغرفة 1 إلى الغرفة 2، وينتقل النزيل المقيم في الغرفة 2 إلى الغرفة 4، وهكذا. يظل جميع من كان في لفندق يحظون بغرفة، ويصير عدد لا نهائي من الغرف، جميع الغرف الفردية، شاغرا ليتسع للقادمين الجدد. وهذا يوضح أن ضعف ما لا نهاية يساوي ما لا نهاية.

يبدو أن فندق هيلبرت يقترح أن جميع الكميات اللانهائية كبيرة بالحجم نفسه؛ إذ يبدو أن مختلف الكميات اللانهائية يمكن أن تقيم في الفندق اللانهائي نفسه، فالكمية اللانهائية المتمثلة في الأعداد الفردية يمكن أن تتطابق مع الكمية اللانهائية المتمثلة في أعداد العد بأكملها. غير أن بعض الكميات اللانهائية أكبر من بعضها الآخر بالتأكيد. ذلك أن أي محاولة لمزاوجة جميع الأعداد النسبية بجميع الأعداد غير النسبية تنتهي بالفشل، ويمكن في حقيقة الأمر إثبات أن مجموعة الأعداد غير النسبية اللانهائية أكبر من مجموعة الأعداد النسبية اللانهائية. لقد اضطر علماء الرياضيات إلى وضع نظام كامل من المصطلحات؛ للتعامل مع المستويات المختلفة من اللانهائية، وقد صار الاهتمام بهذه المفاهيم من أكثر الموضوعات المثيرة في الوقت الحالي.

وبالرغم من أن لا نهائية الأعداد الأولية قد حطمت الآمال في وجود برهان مبكر لمبرهنة فيرما الأخيرة، فإن وجود إمداد لا نهائي من الأعداد الأولية يوفر نتائج أكثر إيجابية في مجالات أخرى مثل الجاسوسية وتطور الحشرات. وقبل العودة إلى موضوع البحث عن إثبات لمبرهنة فيرما الأخيرة، يجدر بنا الإشارة سريعا إلى حالات استخدام الأعداد الأولية وحالات إساءة استخدامها.

إن نظرية الأعداد الأولية من مجالات الرياضيات البحتة القليلة التي وجدت تطبيقا مباشرا لها في العالم الواقعي، وهو مجال التشفير. ينطوي التشفير على تأليف رسائل سرية لا يستطيع فك شفرتها سوى المرسل إليه وحده دون أي شخص آخر قد يستقبلها. وتستلزم عملية تأليف الرسائل السرية استخدام مفتاح سري، وعادة ما تستلزم عملية فك التشفير تطبيق المتلقي للمفتاح السري في الاتجاه المعاكس. وفي هذه العملية، يكون المفتاح هو الحلقة الأضعف في سلسلة الأمان. فأولا، يجب أن يتفق المرسل والمرسل إليه على تفاصيل المفتاح، وتبادل هذه المعلومة عملية خطرة. ذلك أن العدو إذا تمكن من الوصول إلى المفتاح المتبادل؛ فسوف يتمكن من فك شفرة جميع الرسائل التالية. ثم إنه يجب تغيير هذه المفاتيح بانتظام لضمان الأمان، وثمة مخاطرة بأن يتلقى العدو المفتاح الجديد في كل مرة يتغير فيها.

تتمحور مشكلة المفتاح حول الحقيقة المتمثلة في أن استخدامه بطريقة معينة يشفر الرسالة، واستخدامه بالطريقة المعاكسة يفك شفرتها، وتكون عملية فك الشفرة على القدر نفسه من السهولة التي تكون عليها عملية التشفير. بالرغم من ذلك، فالتجربة تخبرنا أن عملية فك الشفرة تكون أصعب كثيرا من عملية التشفير في العديد من المواقف الحياتية؛ فمن السهل نسبيا أن نخفق بيضة، أما إلغاء هذا الخفق وإعادتها إلى هيئتها، فهو أمر أصعب كثيرا.

في سبعينيات القرن العشرين، توصل وايتفيلد ديفي ومارتن هيلمان إلى فكرة البحث عن عملية رياضية يسهل إجراؤها في أحد الاتجاهين، ويكون صعبا للغاية في الاتجاه المعاكس. وستكون مثل هذه العملية هي المفتاح المثالي. فعلى سبيل المثال، يمكن أن يكون لدي مفتاحي الخاص المؤلف من نصفين، وأنشر نصف التشفير في دليل عمومي. وعندها، سيتمكن أي شخص من أن يرسل لي رسائل مشفرة، لكن أحدا لا يعرف النصف الخاص بفك الشفرة سواي. وبالرغم من أن الجميع يعرفون نصف المفتاح الخاص بالتشفير، فإنه لا يمت بأي صلة إلى نصفه الخاص بفك الشفرة.

Page inconnue