لكن ماذا إذا كنا نقيس شيئا لا يمثل رقما صحيحا، مثل درجة الحرارة، أو موضع كوكب ما؟ وهل تعتبر درجة الحرارة في نموذج توقع حالة طقس غير مثالي مطابقة تماما لدرجة الحرارة في العالم الواقعي؟ كانت هذه هي الأسئلة التي أثارت اهتمام فيلسوفنا في البداية بالفوضى. أولا، يجب أن نبحث السؤال الأكثر إلحاحا حول سبب عدم سيطرة الأرانب على العالم خلال تسعة آلاف شهر انقضت منذ عام 1202؟

الامتداد والانطواء على الذات ونمو عدم اليقين

تضفي دراسة الفوضى مصداقية على قول علم الأرصاد الجوية المأثور، الذي يذهب إلى أن أي توقع لا يكون كاملا في غياب تقدير مفيد لعدم يقين التوقع. فإذا كنا نعرف أن الشرط المبدئي غير مؤكد، فإننا إذن لسنا مهتمين فحسب بعملية التوقع «في حد ذاتها»، بل نهتم كذلك بمعرفة أي أخطاء التوقع هو الأكثر احتمالا.

النمو الأسي: مثال من الصف الثالث الابتدائي للآنسة نيجل

قبل بضعة أشهر، تلقيت رسالة بريد إلكتروني كتبها صديق قديم لي منذ أيام المدرسة الابتدائية. وكانت الرسالة تتضمن رسالة أخرى كان قد أرسلها طالب في الصف الثالث الابتدائي في نورث كارولاينا، وكان الصف الذي ينتمي إليه يتلقى دروسا في الجغرافيا، وكانت الرسالة تطلب من كل من يقرؤها أن يرسل ردا إلى المدرسة يذكر فيه محل الإقامة، وسيحدد الصف محل الإقامة ذلك على نموذج كرة أرضية في المدرسة. وطلبت الرسالة أيضا من كل من يقرؤها أن يمرر الرسالة إلى عشرة أصدقاء.

لم أمرر الرسالة لأي شخص، لكنني كتبت رسالة إلى صف الآنسة نيجل مشيرا إلى أنني في أكسفورد بإنجلترا، واقترحت أيضا أن يخبروا مدرسة الرياضيات عن تجربتهم ويستخدموها كمثال على توضيح النمو الأسي. إذا أرسل كل واحد منهم الرسالة إلى عشرة أشخاص، ثم في اليوم التالي أرسل كل منهم رسالته إلى عشرة أشخاص آخرين، فسيبلغ عدد الأشخاص الذين تصلهم الرسالة 100 شخص في اليوم الثالث، و1000 شخص في اليوم الرابع، وعدد رسائل أكثر من عناوين البريد الإلكتروني نفسها خلال أسبوع أو ما يقرب من ذلك. في أي نظام واقعي، لا يمكن أن يستمر النمو الأسي إلى ما لا نهاية؛ ففي نهاية المطاف، تنفد كمية الأرز، أو المساحة الخالية في الحديقة، أو عناوين البريد الإلكتروني الجديدة. إن الموارد دائما هي ما يحد ذلك النمو، وحتى الحديقة الوفيرة الإنتاج لن تسمح إلا بتوفير كمية محدودة من الغذاء للأرانب؛ فثمة حدود للنمو الذي يضع حدا للأعداد، إن لم يكن نماذج الأعداد ذاتها التي لدينا.

لم أعرف قط إن كان طلاب صف الآنسة نيجل قد تلقوا درس النمو الأسي. ولكن كانت الإجابة الوحيدة التي تلقيتها عبارة عن رد آلي يذكر أن صندوق البريد الإلكتروني للمدرسة قد تجاوز الحد الأقصى للرسائل وأغلق.

يجب ألا يزداد خطأ التوقع في أي نظام واقعي دون حدود، حتى إذا بدأنا بخطأ صغير مثل حبة واحدة أو أرنب واحد، فلن يزيد خطأ التوقع كثيرا على نحو اعتباطي (إلا إذا كان لدينا مسئول توقع ساذج جدا)، ولكن الخطأ سيصل إلى مرحلة التشبع عند قيمة مقيدة محددة، مثلما سيتوقف عدد الأرانب نفسه عن التزايد. يمتلك الرياضي طريقة لتفادي أخطاء التوقع الكبرى المثيرة للضحك (بخلاف السذاجة)، وتحديدا من خلال جعل عدم اليقين الأولي «لا متناهي» الصغر؛ أي أصغر من أي قيمة قد تتصورها، لكنه أكبر من الصفر. وسيظل عدم اليقين هذا لا متناهي الصغر طوال الوقت، حتى إذا كان ينمو نموا أسيا سريعا.

تحد العوامل المادية - مثل الكمية الإجمالية لغذاء الأرانب في الحديقة أو مساحة القرص الصلب في نظام رسائل البريد الإلكتروني - من النمو عمليا. الحدود بديهية حتى إذا كنا لا نعرف تماما ما يتسبب فيها؛ فمثلا أعتقد أنني فقدت مفاتيحي في باحة انتظار السيارات، أو ربما فقدتها في مكان يبعد عن الباحة بمسافة عدة أميال، إلا أنه ليس من المرجح على الإطلاق أنها في مكان على مسافة أبعد من القمر، ولست في حاجة إلى فهم قوانين الجاذبية أو تصديقها لأقدر ذلك. وبالمثل، يندر أن تنحرف تقديرات مسئولي توقعات الأرصاد عن 100 درجة مئوية، حتى إذا كان التوقع قبل عام كامل! وحتى النماذج المنقوصة يمكن تقييدها عادة بحيث يحد من أخطائها في التوقع.

متى خطت نماذجنا داخل نطاق أراضي الخيال (مما يشير إلى قيم لم تبلغها أي بيانات من قبل قط)، إذن فعلى الأرجح سيتقوض شيء ما، إلا إذا تداعى شيء ما بالفعل في نموذجنا. في كثير من الأحيان - مع تزايد عدم يقيننا أكثر مما ينبغي - يبدأ عدم اليقين في الانطواء على ذاته. تخيل عجن العجين، أو ماكينة طوفي تمط وتطوي الطوفي باستمرار. فإن الخط الوهمي من الطوفي الذي يصل بين حبتي سكر قريبتين جدا سيزداد طولا أكثر فأكثر مع تباعد هاتين الحبتين تحت تأثير عمل الماكينة، لكن قبل أن يصبح طول الخط أكبر من الماكينة نفسها، سينطوي هذا الخط على نفسه، مؤلفا كومة متشابكة مريعة. وستتوقف المسافة بين حبتي السكر عن الزيادة، حتى مع ازدياد طول خيط الطوفي الواصل بينهما أكثر فأكثر؛ مما يزيد من تشابك الكومة أكثر فأكثر. تقدم لنا ماكينة الطوفي طريقة لتصور حدود نمو خطأ التوقعات متى كان نموذجنا كاملا، وفي حالتنا هذه، يتمثل الخطأ في «المسافة» المتزايدة بين الحالة الحقيقة وأفضل توقعاتنا لتلك الحالة. سيتوافق أي نمو أسي للخطأ فقط مع النمو الأولي السريع لخيط الطوفي، ولكن في حال إذا لم تسارع توقعاتنا نحو اللانهائية (يجب أن يظل الطوفي في الماكينة، وأن تمتلئ الحديقة بعدد محدد من الأرانب، وما إلى ذلك)، في النهاية سينطوي على نفسه الخيط الواصل بين الحقيقة وتوقعنا، ببساطة لا يوجد مكان آخر أمام الخيط ليمتد فيه. من عدة أوجه، يعتبر تشبيه حركة حبة سكر في ماكينة الطوفي بتطور حالة نظام فوضوي في ثلاثة أبعاد طريقة مفيدة لتصور الحركة الفوضوية.

Page inconnue