على سبيل المثال، يتشابه توزيع الثروة في الولايات المتحدة مع قانون القوة، وقد كان المهندس الباريسي الذي عاش في القرن التاسع عشر، فيلفريدو باريتو، أول من لاحظ هذه الظاهرة، ومن ثم أطلق عليها «قانون باريتو»، وبرهن على أنها تنطبق على كل الدول الأوروبية التي تتوافر عنها الإحصائيات ذات الصلة. النتيجة الرئيسية لهذا القانون هي أن عددا كبيرا من الناس يملكون ثروات صغيرة نسبيا، في حين تتمتع أقلية صغيرة للغاية بالثراء الفاحش، ونظرا لأن الخصائص المتوسطة لتوزيعات قانون القوة شديدة الانحراف، فيمكن أن تكون مضللة للغاية. على سبيل المثال، ما من معنى على الإطلاق للتحدث عن متوسط ثروة سكان الولايات المتحدة، فالمتوسط الفعلي لهذه الثروة أعلى بكثير من ثروة أي مواطن أمريكي عادي، وذلك لأن هذا المتوسط تهيمن عليه ثروة عدد قليل من الأفراد فاحشي الثراء، الموجودين في طرف التوزيع، هيمنة شديدة. على النحو نفسه، يمكن لكمية قليلة من نقاط التلاقي فائقة الاتصال في إحدى الشبكات أن يكون لها تأثير لا يتناسب مع عددها.

تتمثل السمة الرئيسية لتوزيع قانون القوة في كمية تسمى «الأس»، وهي الكمية التي تصف في جوهرها كيفية تغير التوزيع كدالة للمتغير الرئيسي. على سبيل المثال، إذا انخفض عدد المدن ذات الحجم المحدد بتناسب عكسي مع هذا الحجم، فمعنى ذلك أن قيمة أس التوزيع تساوي واحدا. في هذه الحالة، من المتوقع أن نرى مدنا بحجم مدينة إيثاكا بمعدل يزيد ثلاث مرات عن احتمال رؤية مدن مثل ألباني (عاصمة ولاية نيويورك)، التي يبلغ حجمها نحو ثلاثة أضعاف، وبمعدل يزيد عشر مرات عن مدن مثل بافلو، التي يبلغ حجمها عشرة أضعاف، لكن إذا انخفض التوزيع عكسيا مع «مربع» الحجم، فمعنى ذلك أن قيمة الأس تصير اثنين، ويكون من المتوقع أن يزيد عدد المدن المماثلة في الحجم لمدينة إيثاكا عن المدن المماثلة لألباني بتسع مرات، وعن المدن المماثلة لبافلو بمائة مرة.

بدلا من تمثيل احتمال وقوع حدث ما على الرسم البياني كدالة لحجمه (كما في الشكل

4-2 )، فإن أيسر سبيل لتحديد أس قانون القوة هو تمثيل «لوغاريتم» الاحتمالية في مقابل «لوغاريتم» الحجم على الرسم البياني. ومن الملائم أنه في هذا الشكل (الذي يعرف باسم «رسم اللوغاريتم-اللوغاريتم»)، يكون التوزيع الصحيح لقانون القوة خطا مستقيما دائما، كما هو موضح بالضبط في الشكل

4-3 . ومن ثم ، يوضح الأس ببساطة كميل لهذا الخط المستقيم. لذا، عندما تتوفر البيانات الكافية، يكون كل ما علينا فعله هو وضعها على مقياس لوغاريتم-لوغاريتم، وقياس ميل الخط الناتج. أوضح باريتو، مثلا، أنه بصرف النظر عن الدولة التي تناولها بالدراسة، كان توزيع الثروات قانون قوة يميل في مكان ما بين اثنين وثلاثة، بحيث كلما انخفض الأس زاد الاختلاف. وعلى العكس من ذلك، في حالة التعبير عن توزيع بواسون أو توزيع طبيعي بيانيا على مقياس لوغاريتم-لوغاريتم، سنرى، كما هو موضح في الشكل

4-4 ، أنه في نقطة ما سيبدأ في الانحناء لأسفل سريعا، ليعكس ما يعرف باسم «القطع». وبوجه عام، يحدد القطع حدا علويا لأي كمية يمثلها التوزيع، وعندما يطبق القطع بوجه خاص على توزيع الدرجات بإحدى الشبكات، تتمثل أهميته في أنه يحدد مدى قوة اتصال أي عضو بالمجموعة، وإذا كان بإمكان شخص عادي الاتصال بجزء صغير فحسب من مجموعة الأفراد الكاملة، فسينطبق الأمر نفسه حتى على الشخص الأفضل اتصالا.

شكل 4-3: أحد توزيعات قانون القوة على رسم بياني لوغاريتم-لوغاريتم. الأس ألفا

هو ميل الخط (ينخفض الخط بمعدل α لكل وحدة على المحور الأفقي).

شكل 4-4: توزيع طبيعي على رسم بياني لوغاريتم-لوغاريتم. يحدث «القطع» عندما يختفي المنحنى داخل المحور الأفقي.

يمكن النظر إلى القطع أيضا على أنه يحدد معيارا أساسيا للتوزيع، ونظرا لأن قانون القوة يمتد إلى ما لانهاية دون مواجهة أي قطع على الإطلاق، فهو يسمى «عديم المعيار»، ومن ثم تتسم الشبكات عديمة المعيار بأن معظم نقاط التلاقي بها يكون اتصالها ضعيفا نسبيا، في حين أن أقلية مختارة من المراكز الرئيسية يكون اتصالها قويا للغاية، وهو ما يتناقض تماما مع الرسم البياني العشوائي الشائع. بعد فحص مجموعة متنوعة من بيانات الشبكات، توصل باراباسي وألبرت إلى نتيجة مذهلة، وهي أن كثيرا من الشبكات الحقيقية، بما في ذلك شبكة الممثلين السينمائيين التي درستها مع ستيف، والشبكة المادية للإنترنت، وبنية الروابط الافتراضية للشبكة العنكبوتية العالمية، وشبكات التمثيل الغذائي للعديد من الكائنات الحية، كانت عديمة المعيار. بعد العقود العديدة التي سادت فيها افتراضات معاكسة، قد تكون هذه الملاحظة مذهلة في حد ذاتها، لكن ما أثار اهتمام المعنيين بالشبكات حقا هو أن الباحثين أخذا خطوة إضافية للأمام؛ وذلك بأن اقترحا آلية بسيطة أنيقة يمكن بواسطتها لمثل هذه الشبكات أن تتطور مع مرور الوقت. (2) الأثرياء يزدادون ثراء

Page inconnue