وهكذا نرى أننا إذا أردنا حل كل المعادلات الجبرية، وجب علينا التوسع في عتادنا العددي. فهناك حلول معينة لمعادلات جبرية تعبر عنها أعداد صحيحة وكسرية. وهناك حلول أخرى تعبر عنها أعداد صماء (ووجود هذه الأعداد الصماء راجع إلى أن الأعداد الصحيحة والكسرية ليست كلها مربعات كاملة)، وإذن فلضمان وحدة التفكير الجبري، يجب أن نجمع في نسق واحد بين مجموعة الأعداد الصحيحة، والكسرية والصماء، مثل ، ولما كانت كل الأعداد الصحيحة والكسرية والصماء، كما عرفناها الآن، يمكن تصورها حلولا لمعادلات جبرية، ترتب على ذلك أنها تندرج جميعها تحت اسم واحد هو الأعداد الجبرية. (24) الأعداد العالية

ومع كل ذلك فما زلنا بعيدين عن الوصول إلى كل الكيانات الضرورية لدراسة الكم دراسة عامة. فهناك نقط على محور السينات لا يمكن تحديد نقطها البيانية عن طريق أي عدد من الأعداد التي أشرنا إليها حتى الآن، وهنا أعداد ليست حلا لأية معادلة جبرية ، وتسمى بالأعداد العالية

transcendants (العدد

مثلا عدد عال: إذ ثبت أنه لا يمكن أن يكون حلا لمعادلة جبرية). ولما كانت كل الأعداد الجبرية (الصحيحة أو الكسرية) حلولا لمعادلات جبرية، فقد وجب أن تكون الأعداد العالية أعدادا صماء. فالأعداد الصماء إذن نوعان: أعداد صماء مثل ، وهي أعداد جبرية، وأعداد صماء مثل

ليست جبرية، ومن ثم كانت عالية حسب تعريفها.

والأعداد الجبرية والأعداد العالية تكون مجموع الأعداد المسماة بالحقيقية

réels ، ومن الممكن وضعها كلها مرتبة في مستقيم واحد، فيكون مجموع هذه الأعداد هو مجموع كل نقط المستقيم، وهي كلها تتساوى في أنها أحوال للمقدار، وهكذا رأينا كيف ازداد عالم التفكير الرياضي ثراء بهذه الموضوعات الجديدة.

25 (25) الأعداد الخيالية

يبحث الجبر في الأعداد الخيالية إلى جانب الأعداد الحقيقية؛ وهي تظهر بدورها لتعميم القضايا. فإذا تأملنا مثلا المعادلة س

2 + س + 1 = صفر كان علينا أن نستخلص الجذر التربيعي لعدد سالب، وعندئذ نقول إن المعادلة ليس لها جذر حقيقي، ومع ذلك ففي وسعنا أن نتصور إمكان حل هذه المعادلة إذ قلنا بفكرة العدد الخيالي. غير أن المسألة في هذه المرة ليست امتدادا لفكرة العدد بالمعنى الصحيح؛ إذ لا يمكن تصور العدد الخيالي بأنه نقط على خط مستقيم ترتب عليه كل الأعداد الحقيقية؛ بل إن العدد الخيالي هو في الواقع تنظيم لعددين حقيقيين، ويجب ألا يعبر عنه بأنه نقطة على مستقيم فحسب؛ بل على أنه نقطة على مسطح، وهنا تغيير كامل للمعنى الأساسي للعدد، وهو تغيير يزيدنا شعورا بحقيقة مجموع الأعداد الحقيقية (أي الأعداد الجبرية والأعداد العالية). (26) فكرة اللامتناهي-فكرة القوة

Página desconocida