أعاد جودل تأويل مفارقة الكاذب وطرح مفهوم البرهان. وقد تمثلت النتيجة في عبارة على غرار:

ما من برهان على هذه العبارة.

إذا كانت العبارة خاطئة لأمكن إثباتها، لكن هذا يعارض العبارة. ومن ثم؛ فلا بد أن تكون العبارة صحيحة لتفادي التضارب. ومع ذلك، بالرغم من أن العبارة صحيحة، فإنه لا يمكن إثباتها؛ لأن هذه العبارة (التي نعرف الآن أنها صحيحة) تقول ذلك.

ونظرا إلى أن جودل قد تمكن من ترجمة العبارة سابقة الذكر إلى ترميز رياضي، فقد تمكن من إثبات وجود عبارات صحيحة في الرياضيات لكن لا يمكن إثبات صحتها، وهي العبارات التي تسمى بالعبارات غير القابلة للحسم. وقد كانت تلك هي الضربة القاضية لبرنامج هيلبرت.

لقد توازى عمل جودل مع اكتشافات مشابهة تجرى في مجال فيزياء الكم. فقبل أربع سنوات فقط من نشر عمل جودل، كان الفيزيائي الألماني فرنر هيزنبرج قد اكتشف مبدأ اللايقين. فمثلما أن ثمة حدا لما يستطيع علماء رياضيات المبرهنات إثباته، أوضح هيزنبرج أن ثمة حدا لما يستطيع علماء فيزياء الخواص قياسه. إذا أرادوا على سبيل المثال قياس الموقع المحدد لجسم ما ، فإنهم لا يستطيعون قياس سرعته المتجهة إلا بدقة ضعيفة نسبيا. ويعود السبب في هذا إلى أن قياس موقع الجسم، يحتم إضاءته بفوتونات من الضوء، ومن أجل تحديد موقعه الدقيق، لا بد من أن تكون طاقة الفوتونات الضوئية ضخمة. غير أنه إذا أطلقت على الجسم فوتونات ضوئية تتمتع بطاقة عالية، فإن ذلك سيؤثر في سرعته المتجهة ويجعلها غير يقينية على نحو جوهري. ومن ثم، فمن أجل معرفة موقع الجسم، سيضطر الفيزيائيون إلى التخلي عن درجة من الدقة بشأن معرفة سرعته المتجهة.

إن مبدأ اللايقين الذي اكتشفه هيزنبرج لا يتضح إلا على المستويات الذرية حين تصبح القياسات عالية الدقة أمرا شائكا. ولهذا؛ فقد أمكن للجزء الأكبر من الفيزياء أن يستمر على أي حال، بينما انشغل علماء فيزياء الكم بأسئلة عميقة عن حدود المعرفة. وقد كان الأمر نفسه يحدث في عالم الرياضيات. فبينما انشغل علماء المنطق بجدال حصري للغاية عن عدم قابلية الحسم، استمر بقية المجتمع الرياضي في العمل على أي حال. فبالرغم من أن جودل قد أثبت وجود بعض العبارات التي لا يمكن إثباتها، كان ثمة الكثير من العبارات التي يمكن إثباتها ولم يؤد اكتشافه إلى إبطال صحة أي شيء قد أثبت في الماضي. وعلاوة على ذلك، فقد كان العديد من علماء الرياضيات يرون أن عبارات جودل التي لا يمكن حسمها لا توجد إلا في مجالات الرياضيات الأكثر غموضا وتطرفا؛ ومن ثم فقد لا يصادفونها على الإطلاق. فبالرغم من كل شيء، لم يقل جودل شيئا سوى أن هذه العبارات موجودة، لكنه لم يتمكن في واقع الأمر من الإشارة إلى أي منها. غير أنه في العام 1963، أصبح كابوس جودل النظري واقعا متأصلا.

ذلك أن بول كوهين، وهو عالم رياضيات في جامعة ستانفورد يبلغ من العمر تسعة وعشرين عاما، قد ابتكر تقنية لاختبار ما إذا كان أحد الأسئلة قابلا للحسم أم لا. لا تنطبق هذه التقنية إلا في حالات قليلة خاصة للغاية، لكنه بالرغم من ذلك كان أول من يكتشف أسئلة محددة لم تكن قابلة للحسم بالفعل. وبعد أن توصل إلى اكتشافه، سافر فورا إلى برينستون وبرهانه في يده ليصدق جودل بنفسه على صحته. كان جودل قد وصل في هذه المرحلة من حياته إلى طور الجنون الوهامي، ففتح الباب قليلا وخطف الأوراق، ثم أوصده. بعد ذلك بيومين، تلقى كوهين دعوة لتناول الشاي في منزل جودل، وهي علامة على أن الأستاذ قد صدق على البرهان بختم سلطته. وما كان مثيرا على وجه التحديد أن بعض هذه الأسئلة غير القابلة للحسم من الأسئلة الجوهرية في الرياضيات. ومن المفارقات أن كوهين قد أثبت أن أحد الأسئلة التي ضمها هيلبرت إلى قائمة الأسئلة الثلاثة والعشرين الأهم في الرياضيات، وهو فرضية الاستمرارية، من الأسئلة غير القابلة للحسم.

لقد أرسل عمل جودل بعد أن أكملته عبارات كوهين غير القابلة للحسم رسالة مزعجة إلى جميع أولئك المهتمين بالرياضيات، المحترفين منهم والهواة، الذين كانوا يثابرون في محاولاتهم لإثبات مبرهنة فيرما الأخيرة؛ فربما كانت مبرهنة فيرما الأخيرة من الأسئلة التي لا يمكن حسمها! ماذا لو أن بيير دو فيرما قد ارتكب خطأ حين زعم أنه قد توصل إلى برهان؟ إذا كانت الحال كذلك، فثمة احتمال أن تكون المبرهنة الأخيرة غير قابلة للحسم. قد يكون إثبات مبرهنة فيرما الأخيرة أكثر من مجرد مهمة صعبة؛ قد يكون مهمة مستحيلة. إذا كانت مبرهنة فيرما الأخيرة غير قابلة للحسم؛ إذن فقد أهدر علماء الرياضيات قرونا في البحث عن برهان لا وجود له.

من الغريب أنه إذا اتضح أن مبرهنة فيرما الأخيرة غير قابلة للحسم، فإن هذا يعني أنها لا بد أن تكون صحيحة. ويتمثل السبب فيما يلي. تنص مبرهنة فيرما الأخيرة على أنه لا توجد حلول بأعداد صحيحة للمعادلة: ، حيث

n

Página desconocida