و

D . تربط بين أجزاء البلدة المختلفة سبعة جسور، وثمة أحجية محلية تسأل عما إذا كان من الممكن القيام برحلة في البلدة؛ بشرط المرور بكل جسر مرة واحدة فقط.

شكل 3-2: تمثيل مبسط لجسور كونيسجبرج.

بدأ أويلر بخريطة للمدينة، وربما يكون قد رسم تمثيلا مبسطا، تستبدل فيه النقاط برقع الأرض والخطوط بالجسور، مثلما يوضح الشكل

3-2 . وحاجج بعد ذلك بأن إجراء رحلة ناجحة (أي عبور جميع الجسور لمرة واحدة فقط) يستلزم بصفة عامة، أن تتصل النقطة بعدد زوجي من الخطوط. والسبب في ذلك أنه حين يكون المسافر في منتصف الرحلة ويمر بقطعة من الأرض، فسيكون عليه أن يدخل من جسر، ويخرج من جسر آخر. وثمة استثناءان فقط لهذه القاعدة: وهما حين يكون المسافر في بداية الرحلة أو نهايتها. ففي بداية الرحلة، يغادر المسافر رقعة الأرض ولا يحتاج إلا إلى جسر واحد للخروج، وهو يصل في نهايتها إلى رقعة أرض ولا يحتاج إلا إلى جسر واحد للدخول. وإذا كانت الرحلة تبدأ في موقع، وتنتهي في موقع مختلف عنه، فيمكن أن تتصل رقعتا الأرض هاتان بعدد فردي من الجسور. أما إذا كانت الرحلة تبدأ وتنتهي في المكان نفسه، فيجب إذن أن تتصل هذه النقطة بعدد زوجي من الجسور، مثلها في ذلك مثل جميع النقاط الأخرى.

ومن ثم؛ فقد توصل أويلر إلى استنتاج عام وهو عدم إمكانية القيام برحلة كاملة عبر أي شبكة من الجسور، مع المرور بكل جسر منها لمرة واحدة فقط إلا في حالة اتصال جميع رقع الأرض بعدد زوجي من الجسور، أو أن تكون رقعتان منها على وجه التحديد هما اللتين تتصلان بعدد فردي من الجسور. وفي حالة مدينة كونيسجبرج، نجد أن مجموع رقع الأرض أربعة، وجميعها متصل بعدد فردي من الجسور: فثلاث من النقاط تتصل بثلاثة جسور، وتتصل نقطة واحدة بخمسة جسور. لقد تمكن أويلر من شرح السبب في استحالة عبور جميع جسور كونيسجبرج لمرة واحدة فقط، وقد توصل علاوة على ذلك إلى قاعدة يمكن تطبيقها على أي شبكة من الجسور في أي مدينة بالعالم. إن هذه الحجة المنطقية تتسم بالبساطة الجميلة، وقد تكون تلك المسألة من نوع المسائل المنطقية التي كان أويلر يكتبها على عجل قبل العشاء.

إن أحجية جسور كونيسجبرج من المسائل التي تعرف في الرياضيات التطبيقية باسم مسائل الشبكات، لكنها ألهمت أويلر بالتفكير في شبكات أكثر تجريدا . لقد واصل التفكير ليكتشف حقيقة جوهرية بشأن جميع الشبكات، وتوصل إلى ما يعرف باسم «صيغة الشبكة»، التي استطاع إثباتها ببضع خطوات منطقية فحسب. وتوضح صيغة الشبكة التي اكتملت على يد أوجستين لوي كوشي، علاقة أبدية بين السمات الثلاث التي تصف أي شبكة:

حيث:

هي عدد النقاط (التقاطعات) في الشبكة.

و

Unknown page