إن انبهار عالم الرياضيات بهذا الشكل البياني ليس منبعه فقط جمال هذا الشكل، بل أيضا بسبب حقيقة أننا سنحصل على صورة مشابهة لخريطة موران-ريكر ونظم أخرى كثيرة تبدو للوهلة الأولى مختلفة تماما عن الخريطة اللوجيستية. يظهر طرح فني أن تضاعف الدورة أمر شائع في خرائط «المنحنى الواحد» التي «يبدو» فيها المنحنى «مثل» القطع المكافئ. من حيث المعنى الحقيقي والمرتبط بذلك تماما، تبدو جميع الخرائط اللاخطية تقريبا مثل قيمها القريبة للغاية من القيمة القصوى لها؛ لذا يطلق على خواص مثل تضاعف الدورة بأنها «عامة»، على الرغم من عدم اشتمال «جميع» الخرائط عليها. لعل الأمر الأكثر إثارة للدهشة من هذه الحقائق الرياضية هو الحقيقة التجريبية القائلة بأن مجموعة واسعة التنوع من النظم الفيزيائية تظهر سلوكا ما غير متوقع يعكس - قدر ما نستطيع أن نرى - هذه البنية الرياضية. أليس هذا الطرح مقنعا إذن لتتولى الرياضيات التحكم في الطبيعة وليس فقط وصفها؟ للإجابة عن هذا السؤال، ربما نبحث عما إن كان رقم فايجنباوم أقرب إلى ثابت هندسي مثل

π ، أو إلى ثابت فيزيائي مثل سرعة الضوء، أي

c . توصف الأشكال الهندسية للأقراص، والعبوات، والكرات جيدا باستخدام

π ، بيد أن

π

تكاد لا تتحكم في العلاقة بين الأطوال، والمساحات، والحجوم الحقيقية بنفس الطريقة التي تتحكم بها قيم الثوابت الفيزيائية في طبيعة الأشياء في إطار قوانين الطبيعة التي نعرفها.

أصل المصطلح الرياضي «الفوضى»

في عام 1964 أثبت عالم الرياضيات الروسي إيه إن شاركوفسكي نظرية لافتة حول الأنماط السلوكية للعديد من خرائط «المنحنى الواحد»، ألا وهي أن اكتشاف وجود حلقة دورية واحدة يشير إلى وجود حلقات أخرى، وربما تكون كثيرة. كان اكتشاف وجود حلقة الدورة 16 لقيمة محددة للمعلم يشير ضمنا إلى وجود حلقات دورة ثامنة، ورابعة، وثانية، وأولى عند تلك القيمة، بينما كان يعني اكتشاف حلقة دورة ثالثة وجود حلقة لكل دورة محتملة! وهو ما يعتبر دليلا آخر غير بناء؛ فهو لا يدلنا على موضع تلك الحلقات ولكنه في النهاية يعد نتيجة متقنة تماما. بعد أحد عشر عاما من عمل شاركوفسكي، نشر لي ويورك ورقتهما البحثية الواسعة التأثير تحت عنوان رائع: «الدورة الثالثة تستلزم الفوضى». ومن وقتها ظهر مصطلح «الفوضى» واستقر في الأذهان.

النظم الرياضية المتعددة الأبعاد

كانت معظم حالات نماذجنا حتى الآن تتألف من مركبة واحدة فقط. ويعتبر نموذج فئران الحقول وابن عرس استثناء؛ حيث إن الحالة تتكون من رقمين؛ أحدهما يعكس تعداد الفئران، والآخر تعداد ابن عرس. وفي هذه الحالة تعتبر الحالة متجها. يطلق علماء الرياضيات على عدد المركبات في الحالة «بعد» النظام؛ حيث إن رسم متجهات الحالة سيتطلب فضاء حالة يمتلك هذا البعد.

Unknown page