والقياس في استخراج هذه النسبة أن يضرب ذلك العدد في نفسه، ويقسم العدد الحاصل منه على العدد الأكثر، فما خرج فهو العدد الأقل في تلك النسبة، وإن قسم المبلغ على العدد الأقل خرج العدد الأكثر في تلك النسبة، مثال ذلك إذا قيل لك: أوجدني عددا يكون نسبته إلى العشرة كنسبة العشرة إلى الأحد عشر، فبابه أن تضرب العشرة في نفسها ويقسم المبلغ على أحد عشر فيخرج تسعة وجزء من أحد عشر، فيكون نسبة التسعة وجزء من أحد عشر إلى العشرة كنسبة العشرة إلى الأحد عشر، وإن قسمت ذلك على تسعة خرج أحد عشر وتسع.

فنسبة العشرة إلى التسعة كنسبة الأحد عشر والتسع إلى العشرة، ومن خاصية هذه النسبة أنه متى كان اثنان منها معلومين والثالث مجهولا، يمكن أن يعلم ذلك المجهول من المعلومين، فبابه أن يضرب أحد المعلومين في نفسه، ويقسم المبلغ على الآخر، فما خرج فهو ذلك المجهول المطلوب، مثال ذلك إذا قيل لك: أوجدني عددا يكون نسبته إلى الاثنين كنسبة الأربعة إلى الستة، أو قال: نسبة الأربعة إليه كنسبة الستة إلى الأربعة، فالقياس فيهما واحد وهو أن تضرب الأربعة في نفسها فيكون ستة عشر، فنقسمها على الستة فيكون اثنين وثلثين، فتقول: نسبة الاثنين وثلثين إلى الأربعة كنسبة الأربعة إلى الستة، وعكس ذلك نسبة الأربعة إلى الاثنين والثلثين كنسبة الستة إلى الأربعة، فإن ذكر الستة فافعل بها مثل ما فعلت بالأربعة، فإن الباب فيهما واحد، وذلك أن الستة إذا ضربت في نفسها وقسم المبلغ على أربعة كانت تسعة، فنقول: نسبة التسعة إلى الستة كنسبة الستة إلى الأربعة.

وعكس ذلك نسبة الستة إلى التسعة كنسبة الأربعة إلى الستة، وعلى هذا المثال فقس نظائر ذلك، ومن هذه النسبة يستخرج المجهولات الهندسية بالمعلومات، وكذلك المجهولات التي في المعاملات إن كان ثمنا أو مثمنا، مثاله إذا قيل: عشرة نسبة إلى أربعة بكم، فاضرب الأربعة في ستة، واقسم المبلغ على العشرة فما خرج فهو المطلوب.

واعلم بأنه تارة يكون المجهول هو الثمن، وتارة هو المثمن، فاجتهد في القياس أن لا يضرب الثمن في الثمن والمثمن في المثمن، ولكن الثمن في المثمن والمثمن في الثمن.

(3) فصل في التناسب

اعلم أن التناسب هو اتفاق أقدار الأعداد بعضها من بعض، والعددان لا يتناسبان؛ أقل النسبة من ثلاثة أعداد وأقل الأعداد المتناسبة بثلاثة أعداد المتناسبة إذا كانت ثلاثة، فإن قدر أولها من ثانيها كقدر ثانيها من ثالثها، وكذلك بالعكس كل ثلاثة أعداد متناسبة، فإن مضروب أولها في ثالثها كمضروب ثانيها في نفسه، وهذا مثال ذلك 964، كل ثلاثة أعداد متناسبة إذا كانت حاشيتاها معلومتين والواسطة مجهولة؛ أعني: بالحاشيتين الأول والثالث، فإذا ضربت إحدى الحاشيتين في الأخرى، وأخذ جذر المجتمع كان ذلك هو الواسطة المجهولة؛ فإن كانت إحدى الحاشيتين معلومة والواسطة معلومة ضربت الواسطة في مثلها، وقسم المبلغ على الحاشية المعلومة، فما خرج من القسمة فهو الحاشية المجهولة الأعداد المتناسبة إذا كانت أربعة فإن نسبتها على نوعين، أحدهما نسبة التوالي والآخر غير التوالي.

فأما الأعداد المتناسبة المتوالية على نسبتها إذا كانت أربعة، فإن قدر أولها من ثانيها كقدر ثانيها من ثالثها، وثانيها من ثالثها كثالثها من رابعها، مثال ذلك: «ب د ح يو» إذا كانت أعدادا متناسبة غير متوالية كان قدر أولها من ثانيها كقدر ثالثها من رابعها، ولم يكن قدر ثانيها من ثالثها كقدر ثالثها من رابعها، مثل هذه الصورة: ح و ج يو، كل أربعة أعداد متناسبة متوالية كانت أو غير متوالية، فإن مضروب أولها في رابعها مثل مضروب ثانيها في ثالثها، وإذا ضربت إحدى الواسطتين في الأخرى وقسم المبلغ على الحاشية المعلومة، فما خرج فهو الحاشية المجهولة.

فإن كانت إحدى الواسطتين مجهولة وسائرها معلومة ضربت إحدى الحاشيتين في الأخرى وقسمت المبلغ على الواسطة المعلومة، فما خرج فهو الواسطة المجهولة الأعداد المتناسبة المتوالية على نسبتها إذا كانت أربعة وكان عددان منها معلومين والباقيان مجهولين أمكن إخراج المجهولين بالمعلومين، فإن كان الأول والثاني معلومين ضربت الثاني في مثله، وقسمت المبلغ على الأول، فما خرج فهو الثالث، فإن كان الأول والثالث معلومين ضربت الأول في الثالث، وأخذت جذر المبلغ، فما كان فهو الثاني، ثم ضربت الثالث في نفسه، وقسمت المبلغ على الثاني، فما خرج فهو الرابع، وكذلك العمل في سائر الأعداد.

فأما إذا كانت أربعة أعداد متناسبة غير متوالية، وكان المعلوم منها عددين لم يمكن استخراج المجهولين بالمعلومين، غير أنه إذا كان الأول والثاني معلومين، وكان الثاني أكثر من الأول، قسم الثاني على الأول فما خرج من أضعاف الأول ونسبته، فإن في الرابع مثل ذلك من أضعاف الثالث، وإذا كان الأول أكثر من الثاني قسم الأول على الثاني، فما خرج من القسمة ففي الثالث مثل ذلك من أضعاف الرابع.

وأما قلب النسبة فأن تجعل نسبة الأول إلى الثالث كنسبة الثاني إلى الرابع على الاستواء والعكس، وأما ترتيب النسبة فأن تجعل نسبة الأول إلى الأول والثاني معا كنسبة الثالث إلى الثالث والرابع معا، وكذلك هو في العكس والتبديل، وأما تفضيل النسبة فهو نسبة زيادة الأول على الثاني إلى الثاني، كذلك يكون نسبة زيادة الثالث على الرابع إلى الرابع، وأما تنقيص النسبة فأن تجعل نسبة ما بقي من الثاني بعد ما نقص منه الأول إلى الأول كنسبة الرابع بعد ما نقص منه الثالث، وكذلك في العكس وتبديل النسبة.

অজানা পৃষ্ঠা