إن الشكل المثلث هو الذي له ثلاثة أضلاع وثلاث زوايا وهو سبعة أنواع:

أولها المتساوي الأضلاع الحاد الزوايا مثل هذا ، والثاني الحاد الزوايا المتساوي الضلعين مثل هذا ، والثالث الحاد الزوايا المختلف الأضلاع كهذا ، والرابع المتساوي الضلعين القائم الزاوية مثل هذا ، والخامس القائم الزاوية المختلف الأضلاع مثل هذا ، والسادس المنفرج الزاوية المتساوي الضلعين هكذا ، والسابع المنفرج الزاوية المختلف الأضلاع مثل هذا .

(16) فصل في بيان تلك الخواص

واعلم يا أخي بأن لكل واحد من هذه المثلثات خاصية ليست للآخر؛ فقد تبين ذلك في كتاب أوقليدس في المقالة الأولى ببراهينها، ولكن نذكر منها الخاصية التي تشتمل على سبعتها كلها، وذلك أن من خاصية كل شكل مثلث - أي مثلث كان - أنه لا بد من أن يكون فيه زاويتان حادتان، فأما الزاوية الثالثة فيمكن أن تكون حادة أو قائمة أو منفرجة.

ومن خاصيتها أيضا أن ثلاث زوايا كل مثلث مجموعها مساو لزاويتين قائمتين، ومن خاصيتها أيضا أن الضلع الأطول من كل مثلث بوتر الزاوية العظمى، ومن خاصيتها أن كل ضلعين مجموعين من كل مثلث أطول من الضلع الثالث من خاصيتها أيضا أنه إذا أخرج ضلع من أضلاعه - أي ضلع كان - على استقامته، فإنه يحدث زاوية خارجة من المثلث وتكون هي أكبر من كل زاوية تقابلها، ويكون مساويا للداخلتين المقابلتين لها، ومن خاصيتها أيضا أن ضرب مسقط الحجر من كل مثلث في نصف قاعدتها هو مساحة ذلك المثلث.

وأما خاصية المثلث القائم الزاوية فهي أن مربع وتر الزاوية القائمة مساو للمربعين الكائنين من الضلعين.

ومن خاصية المثلث الحاد الزاوية أن مربع الوتر أقل من مربع الضلعين الباقيين بمقدار مربع الضلع الذي وقع عليه العمود فيما بين مسقط العمود والزاوية مرتين.

ومن خاصية المثلث المنفرج الزاوية أن مربع الوتر أكثر من مربع الضلعين بمقدار مربع أحد الضلعين فيما هو خارج منه إلى مسقط العمود مرتين مثل هذا: 

وأما الشكل المربع فهو الذي له أربعة أضلاع وأربع زوايا وهو خمسة أنواع أولها المتساوي الأضلاع القائم الزوايا مثل هذا ، والثاني المستطيل القائم الزوايا المتساوي كل ضلعين متقابلين مثل هذا ، الثالث المعين وهو المتساوي الأضلاع المختلف الزوايا مثل هذا ، والرابع الشبيه بالمعين وهو المتساوي كل ضلعين متقابلين مثل هذا  والخامس المختلف الأضلاع والزوايا مثل هذا .

واعلم يا أخي بأن لكل واحد من هذه الأشكال خواص يطول شرحها، ولكن نذكر الخاصية التي تشملها كلها وهي أن كل مربع - أي مربع كان - فإن زواياه الأربع مجموعة تكون مساوية لأربع زوايا قائمة، وأن كل مربع يمكن أن ينقسم بمثلثين وإن زيد عليه مثلث آخر صار منها شكل مجسم، وأما الشكل المخمس فهو الذي يحيط به خمسة أضلاع وله خمس زوايا وهو أول الأشكال الكثيرة الزوايا المتساوي الأضلاع وأنه يمكن أن يحيط بكل واحد منها دائرة، ويمكن أن يحيط هو أيضا بدائرة وأن كل شكل منها الذي هو أكثر زوايا فهو أكثر وأوسع مساحة من الذي هو أقل منه إذا كان المحيط بها مقدارا واحدا وإن ضرب عمود واحد من تلك المثلثات في نصف قواعدها فهو مساحة ذلك الشكل الكثير الزوايا.

অজানা পৃষ্ঠা