شكل 4-2: من خلال تحريك قطع البلاط، يمكن تشكيل العديد من التوليفات المضطربة. ويمكن قياس كمية الاضطراب في كل توليفة منها من خلال معامل الاضطراب .

بالرغم من ذلك، إذا تفحصنا التوليفة التي كان لويد يبيعها، والتي قد بدلت فيها القطعتان 14 و15، فسوف نجد أن معامل الاضطراب ، أي إن الزوجين الوحيدين من قطع البلاط الذي يقع في غير ترتيبه الصحيح هما الزوجان 14 و15. إن قيمة معامل الاضطراب في توليفة لويد عدد فردي! غير أننا نعرف أن قيمة معامل الاضطراب في أي توليفة مشتقة من التوليفة الصحيحة لا بد أن تكون عددا زوجيا. نستنتج من ذلك أن توليفة لويد ليست مشتقة من التوليفة الصحيحة، وفي المقابل، من المحال أن نعيد توليفة لويد إلى الشكل الصحيح؛ لقد كانت الألف دولار التي أعلنها لويد جائزة في أمان.

إن أحجية لويد ومعامل الاضطراب يوضحان فعالية الثابت. والثوابت توفر لعلماء الرياضيات استراتيجية مهمة لإثبات استحالة تحويل شيء إلى شيء آخر. فمن المجالات التي تسترعي كثيرا من الاهتمام في الوقت الحالي، دراسة العقد، ويهتم منظرو العقد بالطبع بمحاولة إثبات ما إذا كان من الممكن تحويل عقدة إلى عقدة أخرى من خلال الجدل أو تكوين الحلقات لكن دون القطع. ومن أجل الإجابة عن هذا السؤال، يحاولون إيجاد خاصية في العقدة الأولى لا يمكن تدميرها مهما زاد مقدار الجدل وتكوين الحلقات، أي ثابت العقدة. وبعد ذلك، يقومون بحساب قيمة هذه الخاصية نفسها في العقدة الثانية. إذا كانت هذه القيمة مختلفة؛ فسوف يكون الاستنتاج هو استحالة الانتقال من العقدة الأولى إلى العقدة الثانية.

حتى ابتكار هذا الأسلوب في عشرينيات القرن العشرين على يد كيرت ريديمستر، لم يكن من الممكن إثبات استحالة تحويل عقدة إلى أي عقدة أخرى. ومعنى هذا أنه قبل اكتشاف ثوابت العقد، لم يكن من الممكن إثبات أن العقدة المزدوجة سهلة الفك تختلف اختلافا جوهريا عن العقدة الشراعية أو عن النصف العقدة، أو حتى عن حلقة بسيطة ليس بها أي عقدة على الإطلاق. إن مفهوم الخاصية الثابتة مفهوم جوهري في العديد من البراهين الرياضية الأخرى، ومثلما سنرى في الفصل الخامس، فإنه سوف يعيد مبرهنة فيرما الأخيرة إلى تيار الرياضيات مرة أخرى.

بحلول نهاية القرن، صار هناك بسبب أمثال سام لويد وأحجيته «14-15»، الملايين من هواة حل المشكلات في جميع أنحاء أوروبا وأمريكا الذين يتطلعون بنهم إلى التحديات الجديدة. وفور أن وصلت أنباء إرث ولفسكيل إلى هؤلاء الرياضيين الناشئين، صارت مبرهنة فيرما الأخيرة هي أشهر معضلات العالم من جديد. لقد كانت المبرهنة الأخيرة أكثر تعقيدا من أصعب أحجيات لويد على نحو لا نهائي، لكن الجائزة كانت أعظم كثيرا. كان الهواة يحلمون بأن يتمكنوا من التوصل إلى خدعة سهلة تكون قد غفل عنها أساتذة الماضي العظام. كان هواة القرن العشرين يتعادلون مع بيير دو فيرما إلى حد كبير فيما يتعلق بالمعرفة بالأساليب الرياضية. غير أن التحدي كان يتمثل في مجاراة البراعة التي استخدم بها فيرما أساليبه.

في غضون أسابيع قليلة من إعلان جائزة ولفسكيل، انهال على جامعة جوتينجن سيل من المشاركات. ولا غرو أن جميع البراهين كانت مغلوطة. وبالرغم من أن جميع المشاركين في المسابقة كانوا مقتنعين بأنهم حلوا هذه المعضلة التي يعود تاريخها لقرون، فقد ارتكبوا جميعا في حججهم المنطقية، أخطاء خفية أو غير خفية في بعض الأحيان. إن فن نظرية الأعداد يتسم بدرجة كبيرة من التجريد، حتى إنه من السهل للغاية أن ينحرف المرء عن المسار المنطقي دون أن يعي انحرافه ذاك على الإطلاق. ويوضح الملحق 7 أمثلة على الأخطاء الكلاسيكية التي يسهل على الهواة المتحمسين أن يغفلوا عنها.

وبصرف النظر عن هوية مرسل البرهان، كان يجب مراجعة كل منها بدقة، تحسبا لأن يكون أحد الهواة المجهولين قد توصل إلى البرهان الأكثر طلبا في الرياضيات. كان رئيس قسم الرياضيات في جامعة جوتينجن في المدة بين 1909 و1934 هو البروفيسور إدموند لاندو، وكان فحص المشاركات في جائزة ولفسكيل من مسئولياته. وجد لاندو أن أبحاثه تقاطع باستمرار لاضطراره إلى فحص العشرات من البراهين المغلوطة التي تصل إلى مكتبه كل شهر. وللتكيف مع هذا الوضع، ابتكر البروفيسور وسيلة بارعة للتخفيف من عبء هذا العمل. لقد طبع مئات البطاقات التي ورد فيها ما يلي:

العزيز ...

شكرا على مخطوطتك بشأن برهان مبرهنة فيرما الأخيرة.

الخطأ الأول يرد في:

অজানা পৃষ্ঠা