5-3

سلسلة من عمليات التكبير حيث تظهر منها - كما لو كان في الأمر سحر - بنى ذاتية التشابه فجأة، ولا شك في أن هذا من أكثر الأشياء إدهاشا في النظم الديناميكية اللاخطية. لا توجد أي إشارة على تصميم مصطنع في خريطة إينو، وتشيع البنى الكسرية في عناصر الجذب في النظم الفوضوية المشتتة، وهي مسألة غير ضرورية في النظم الفوضوية، والنظم الفوضوية لا تتطلبها، لكنها شائعة.

مثل جميع الأمور السحرية، يمكننا فهم طريقة عمل الخدعة، على الأقل بعد إجرائها: قررنا أن نقترب أكثر من نقطة ثابتة في خريطة إينو، وبالنظر إلى خواص الخريطة عن كثب جدا، نكتشف مقدار التقريب الواجب إجراؤه بغرض جعل التشابه الذاتي في الخريطة مدهشا للغاية. تعتمد تفاصيل البنية المتكررة - وهي عبارة عن خط واحد سميك وخطين أرفع - على ما يحدث بعيدا عن هذه النقطة، لكن إذا كانت خريطة إينو فوضوية حقا وكان المسار الحاسوبي المستخدم في صناعة هذه الصور واقعيا، فسيكون لدينا عنصر جذب كسري على نحو طبيعي.

شكل 5-3: سلسلة من عمليات التكبير نحو النقطة الثابتة غير المستقرة في خريطة إينو، والمميزة بعلامة «+» عند كل عملية تكبير. يتكرر النمط نفسه مرارا، حتى تبدأ نقاط البيانات في الاختفاء.

تعكس نظرية الجريان المضطرب التقليدية في فضاء الحالة قصيدة ريتشاردسون. كان من المعتقد أن ثمة إمكانية تولد نماذج دورية أكثر فأكثر، وأن تتبع المجموع الخطي لجميع هذه التذبذبات كان سيتطلب فضاء حالة كثير الأبعاد للغاية؛ لذا كان معظم الفيزيائيين يتوقعون أن تتخذ عناصر جذب الجريان المضطرب شكل كعكة الدونات المتعددة الأبعاد، أو تتخذ رياضيا شكل الطارة. في أوائل سبعينيات القرن العشرين، كان ديفيد رويل وفلوريس تاكنس يبحثان عن بدائل للطارات الناعمة المتعددة الأبعاد، واكتشفا عناصر جذب أشكال كسرية قليلة الأبعاد؛ فوجدا أن عناصر الجذب في الأشكال الكسرية «غريبة». حاليا، تستخدم كلمة «غريبة» للإشارة إلى الشكل الهندسي لعنصر الجذب، وعلى وجه الخصوص حقيقة كونه شكلا كسريا، بينما تستخدم كلمة «فوضى» للإشارة إلى ديناميكيات النظام، وهو ما يعد تفرقة مفيدة. لا يعرف على وجه الدقة أصل عبارة «عنصر جذب غريب»، بيد أن التعبير صار علامة ملهمة وملائمة على تلك الأشياء في الفيزياء الرياضية. بما أن النظم الهاملتونية لا تتضمن أي عناصر جذب على الإطلاق، فهي لا تشتمل على أي عناصر جذب غريبة، غير أن السلاسل الزمنية الفوضوية المستقاة من النظم الهاملتونية عادة ما تكون أنماطا معقدة تنطوي على عدم تجانس حاد، وعلامات على التشابه الذاتي يطلق عليها «المراكمات الغريبة» التي تستمر طوال فترة تشغيل الحاسوب، ولا يزال المآل النهائي لهذه المراكمات غير معروف.

الأبعاد الكسرية

يدلنا إحصاء عدد المركبات في متجه الحالة على بعد فضاء الحالة، ولكن كيف يمكننا حساب بعد مجموعة من النقاط إذا كانت تلك النقاط لا تمثل حدا من الحدود، مثل النقاط التي تكون عنصر جذب غريبا، على سبيل المثال؟ إحدى الطرق التي تذكرنا بعلاقة المساحة-المحيط هي تغطية مجموعة النقاط بالكامل بصناديق ذات حجم محدد، ثم مراقبة زيادة عدد الصناديق اللازمة مع صغر حجم كل صندوق شيئا فشيئا. يرصد أسلوب آخر تغير عدد النقاط - في المتوسط - عند النظر إلى كرة متمركزة حول نقطة عشوائية وتصغير نصف قطر الكرة. ولتفادي التعقيدات التي تنشأ قرب حافة إحدى عناصر الجذب، لن يستخدم عالم الرياضيات لدينا سوى الكرات ذات نصف القطر الذي يتلاشى مع صغره، ونرمز له بالحرف

r ؛ ومن ثم نحصل على نتائج مألوفة وهي: قرب نقطة عشوائية واقعة على خط، يتناسب عدد النقاط مع

r

1 ، وقرب نقطة واقعة على سطح مستو، يتناسب عدد النقاط مع

অজানা পৃষ্ঠা