بما أن دورة الحلقة تزداد دوما بعامل اثنين، يطلق على عمليات التشعب هذه «تشعب متضاعفة الدورة». بينما لا يمكن رؤية الحلقات القديمة مرة أخرى، إنها لا تختفي، بل تظل موجودة، لكنها تصير غير مستقرة، وهو ما حدث مع الحالة الأصلية في الخريطة اللوجيستية عندما تصبح قيمة

α

أكبر من واحد. تظل

X

عند قيمة صفر فقط إذا كانت تساوي صفرا تماما، بينما تزداد القيم غير الصفرية الصغيرة عند كل تكرار. وبالمثل، تتحرك النقاط قرب حلقة دورية غير مستقرة بعيدا عنها؛ ومن ثم لا نراها بوضوح عند تكرار القيم في الخريطة.

ثمة نمط منتظم خفي في الشكل رقم

4-1 . انتق أي ثلاث قيم

α

متعاقبة تتضاعف عندها الدورة، واطرح الأولى من الثانية، ثم اقسم العدد الناتج على الفرق بين القيمتين الثانية والثالثة؛ ستفضي النتيجة إلى رقم فايجنباوم، وهو ما يساوي تقريبا 4,6692016091. اكتشف ميتش فايجنباوم هذه العلاقات، مستخدما آلة حاسبة يدوية في لوس آلاموس في أواخر سبعينيات القرن العشرين، وصارت هذه النسبة معروفة باسمه حاليا. وقد توصل إليها آخرون أيضا على نحو مستقل، وكان امتلاك الاستبصار لإجراء هذه العملية الحسابية أمرا مدهشا في كل حالة.

بما أن رقم فايجنباوم أكبر من واحد، تتقارب قيم

অজানা পৃষ্ঠা