النظم الديناميكية الرياضية وعناصر الجذب

من الشائع أن نجد أربعة أنواع مختلفة من السلوك في السلاسل الزمنية؛ فقد تكون السلاسل الزمنية عاجزة عن الحركة، وتبدأ بصورة أو بأخرى في تكرار الرقم الثابت نفسه مرارا وتكرارا؛ أو ترتد في حلقة مغلقة مثل أسطوانة مكسورة، تكرر النمط نفسه على نحو دوري، أي سلسلة الأرقام نفسها تماما مرارا وتكرارا؛ أو تتحرك في حلقة تتضمن أكثر من دورة، ومن ثم لا تكرر نمطا واحدا تماما بل تقترب من كل نمط، مثل لحظة المد المرتفع التي تنساق خلال فترة النهار؛ أو تكون دائمة القفز على نحو غير منظم، أو ربما حتى في هدوء، دون أن تظهر نمطا محددا. يبدو النوع الرابع عشوائيا، بيد أن المظاهر ربما تكون خادعة؛ فربما تبدو الفوضى عشوائية لكنها ليست كذلك. في حقيقة الأمر، مثلما تعلمنا كيف ندرك الأمور على نحو أفضل، لم تعد الفوضى تبدو لنا على هذا القدر من العشوائية عادة. وفي الصفحات القليلة التالية سنقدم المزيد من الخرائط، وإن كانت ربما خالية من الأرز أو الأرانب. وسنحتاج هذه الخرائط للحصول على أشياء شائقة في رحلتنا بحثا عن الأنماط المختلفة للسلوك التي أشرنا إليها توا، وبعض من هذه الخرائط قام بوضعه علماء الرياضيات لهذا الغرض تحديدا، على الرغم من أن الفيزيائي لدينا قد يزعم - ولديه هنا سبب وجيه - أن أيا من تلك الخرائط وضعت نتيجة تبسيط القوانين الطبيعية. في حقيقة الأمر، تعتبر الخرائط بسيطة بما يكفي لأن يجعل كلا منها تخرج في صور عديدة مختلفة.

قبل أن نولد سلسلة زمنية من خلال تكرار خريطة ما، نحتاج إلى رقم ما نبدأ به. يطلق على هذا الرقم الأول «الشرط المبدئي»، وهو «حالة» أولية نحددها، ونكتشفها، أو نعدها لنظامنا المفترض. مثلما فعلنا في الفصل الثاني، سنتخذ الرمز

X

كرمز اختزالي للإشارة إلى حالة نظامنا. ويطلق على مجموع حالات

X

الممكنة «فضاء الحالة». بالنسبة إلى أرانب فيبوناتشي الخيالية، يمثل فضاء الحالة جميع الأرقام الصحيحة. هب أن سلسلتنا الزمنية مستقاة من نموذج لعدد الحشرات في الميل المربع خلال فترة منتصف الصيف سنويا؛ ففي تلك الحالة، ليست

X

سوى مجرد رقم؛ ومن ثم يعد فضاء الحالة - باعتباره مجموع جميع الحالات الممكنة - خطا. ربما يتطلب الأمر في بعض الأحيان أكثر من رقم واحد لتحديد الحالة، وإذا كان الأمر كذلك فستتألف

X

অজানা পৃষ্ঠা