2-1

هو أن النقاط تقع بالقرب من المنحنى. يتمتع المنحنى الأسي بخصوصية في مجال الرياضيات لأنه يعكس دالة تتناسب زيادتها مع قيمتها الحالية؛ فكلما زادت القيمة، زادت سرعة نموها. ويبدو من المنطقي أن شيئا كهذه الدالة يعمل على توصيف ديناميكيات نمو عدد أرانب ليوناردو؛ حيث إن عدد الأرانب في الشهر التالي يتناسب بصورة أو بأخرى مع عدد الأرانب في الشهر الحالي. الشيء الثاني الذي نلاحظه في الشكل هو أن النقاط «لا» تقع على المنحنى. يمثل المنحنى «نموذجا» جيدا لخريطة أرانب فيبوناتشي، لكنه لا يعد مثاليا؛ فدائما ما يكون عدد الأرانب في نهاية كل شهر رقما صحيحا، وبينما قد يقترب المنحنى من الرقم الصحيح الدقيق، فإنه لا يساويه تماما. ومع مرور الشهور وزيادة عدد الأرانب، يقترب المنحنى أكثر فأكثر من كل رقم من أرقام فيبوناتشي، لكنه لا يبلغها على الإطلاق. وسوف يتكرر في هذا الكتاب طرح مفهوم الاقتراب أكثر فأكثر مع عدم بلوغ الغاية تماما.

إذن كيف ستساعدنا أرانب ليوناردو في الوصول إلى فهم نمو عدم اليقين في التوقع؟ مثل جميع الملاحظات، فإن عملية عد الأرانب في الحديقة عرضة للخطأ. ومثلما رأينا في الفصل الأول، من المعروف أن حالات عدم اليقين في الملاحظات ترجع إلى التشويش. تصور أن ليوناردو عجز عن ملاحظة زوج من الأرانب الناضجة أيضا في الحديقة في الشهر الأول؛ ففي تلك الحالة كان عدد أزواج الأرانب في الحديقة سيصبح 2، 3، 5، 8، 13، ... سيتمثل الخطأ في التوقع الأصلي (1، 1، 2، 3، 5، 8 ...) في الفرق بين الحقيقة وذلك التوقع، أي: 1، 2، 3، 5 ... (مرة أخرى، سلسلة أرقام فيبوناتشي). في الشهر الثاني عشر، كان هذا الخطأ ليبلغ رقما لافتا جدا يصل إلى 146 زوجا من الأرانب! فخطأ صغير في العدد الأولي للأرانب سيؤدي إلى خطأ كبير جدا في التوقع. في حقيقة الأمر، يزداد الخطأ أسيا بمرور الوقت، وهو ما ينطوي على تداعيات كثيرة.

لنتفحص معا أثر نمو الخطأ الأسي على عدم اليقين في توقعاتنا. لنقارن مرة أخرى النمو الخطي والنمو الأسي. لنفرض أنه - بالنسبة إلى أحد الأسعار - يمكننا الحد من عدم اليقين في الملاحظة الأولية التي نستخدمها في وضع توقعاتنا. فإذا كان نمو الخطأ خطيا، وقمنا بتقليص عدم اليقين الأولي بعامل مقداره عشرة، فسيمكننا توقع سلوك النظام بفترة أطول بعشرة أضعاف قبل أن يتخطى عدم اليقين لدينا الحد نفسه، وإذا ما قلصنا عدم اليقين الأولي بعامل مقداره 1000، إذن فسيمكننا وضع توقعات على الدرجة نفسها من الجودة خلال فترة تزيد 1000 مرة، وهو ما يعتبر ميزة في النماذج الخطية، أو يعتبر - على نحو أكثر دقة - ميزة ظاهرية في دراسة النظم الخطية فقط. في المقابل، إذا كان النموذج لا خطيا، وكان نمو عدم اليقين نموا أسيا، يمكننا إذن تقليص عدم يقيننا الأولي بعامل مقداره عشرة، إلا أن قدرتنا على التوقع ستكون أطول بمقدار الضعف فقط بالدرجة نفسها من الدقة. في تلك الحالة، «بافتراض» أن النمو الأسي في عدم اليقين منتظم من حيث الوقت، فإن تقليص عدم اليقين بمعلم 1000 لن يؤدي إلا إلى اتساع نطاق توقعاتنا بالدرجة نفسها من الدقة بعامل مقداره ثمانية. يندر أن يكون تقليص عدم اليقين في أي عملية قياس أمرا مجانيا (يجب توظيف شخص آخر لعد الأرانب مرة ثانية)، وقد تكون عمليات تقليص عدم اليقين على نحو كبير مكلفة؛ لذا عندما ينمو عدم اليقين نموا أسيا سريعا، تقفز التكلفة بصورة هائلة، وقد تكون محاولة تحقيق أهداف توقعاتنا من خلال تقليص عدم اليقين في الشروط المبدئية باهظة للغاية.

لحسن الحظ ، ثمة بديل يجعلنا نقبل الحقيقة البسيطة القائلة بأننا لا يمكن أن نتأكد على الإطلاق من أن أي ملاحظة لم يفسدها التشويش؛ ففي حالة الأرانب أو حبات الأرز، يبدو أن ثمة حقيقة في الأمر، رقما صحيحا يمثل الإجابة الصحيحة. وإذا ما قلصنا عدم اليقين في هذا الشرط المبدئي إلى الصفر، فسيمكننا إذن أن نتوقع دون أخطاء. لكن هل يمكن حقا أن نتأكد تماما من الشرط المبدئي؟ ألا يحتمل أن يكون هناك أرنب صغير آخر يختبئ وسط التشويش؟ بينما تشير أفضل تخميناتنا إلى أن ثمة زوجا واحدا في الحديقة، ربما يكون ثمة زوجان، أو ثلاثة، أو أكثر (أو ربما لا توجد أزواج على الإطلاق). إذا كنا غير متيقنين من الشرط المبدئي، يمكننا أن نبحث في تنوع التوقعات التي تجرى وفق نموذجنا من خلال عمل مجموعة توقعات بأن نبدأ كل توقع من كل شرط مبدئي نعتقد في منطقيته؛ لذا سيبدأ أحد التوقعات من المجموعة عند قيمة

X

تساوي واحدا، ويبدأ توقع آخر في المجموعة عند قيمة

X

تساوي اثنين، وهكذا. كيف يجب أن نوزع قدراتنا المحدودة بين المزيد من حساب المزيد من التوقعات وتقديم ملاحظات أفضل للعدد الحالي للأرانب في الحديقة؟

في خريطة الأرانب، ستزداد الفروق بين التوقعات المفردة المختلفة ضمن مجموعة التوقعات زيادة أسية سريعة، بيد أنه في ظل توقع مجمع، يمكننا أن ندرك مدى الاختلاف بينها، ونستخدم هذا كمقياس لعدم يقيننا في عدد الأرانب الذي نتوقعه في أي وقت معين. بالإضافة إلى ذلك، إذا عددنا بدقة عدد الأرانب بعد شهور قليلة، فسنتمكن من استبعاد بعض التوقعات المفردة ضمن مجموعة التوقعات. بدأ كل توقع ضمن المجموعة انطلاقا من رقم تقديري ما لعدد الأرانب الذي كان في الحديقة من البداية؛ لذا يوفر لنا استبعاد أحد التوقعات في حقيقة الأمر مزيدا من المعلومات حول العدد الأصلي للأرانب. وبالطبع ستثبت صحة هذه المعلومات فقط في حال إن كان نموذجنا مثاليا بالمعنى الحرفي؛ مما يعني - في هذه الحالة - أن خريطة الأرانب ترسم صورة السلوك الإنجابي وطول عمر الأرانب بدقة . في المقابل، إذا كان نموذجنا مثاليا، فسيمكننا إذن استخدام ملاحظاتنا المستقبلية في معرفة الماضي، ويطلق على هذه العملية «تقليص التشويش». أما إذا بدا أن نموذجنا غير مثالي، إذن فقد ينتهي بنا المطاف إلى نتائج غير متسقة.

অজানা পৃষ্ঠা