الأعداد الحقيقية والملاحظات الحقيقية والحواسب

يحدد الرياضي الأرقام غير النسبية بحرص بالغ. لا يصادف الفيزيائي هذه الأرقام على الإطلاق ... ينتفض الرياضي خوفا عند مواجهة عدم اليقين، ويحاول تجاهل الأخطاء التجريبية.

ليون بريلوان (1964)

في هذا الفصل نبحث العلاقة بين الأعداد في نماذجنا الرياضية، والأعداد التي نلاحظها عند إجراء قياسات في العالم الحقيقي، والأعداد المستخدمة في حاسوب رقمي. ساهمت دراسة الفوضى في توضيح أهمية التمييز بين هذه الأنواع الثلاثة من الأعداد. ماذا نعني بوجود أشكال مختلفة من العدد الواحد؟

الأعداد الكاملة صحيحة. تكون قياسات أشياء مثل «عدد الأرانب في حديقتي» على هيئة أعداد صحيحة بصورة طبيعية، ويستطيع الحاسوب إجراء عمليات حسابية مثالية باستخدام أعداد صحيحة ما دامت لا تزيد أكثر مما ينبغي. ولكن ماذا عن أشياء مثل «طول هذه المائدة»، أو «درجة حرارة مطار هيثرو؟» يبدو أن هذه الأشياء يجب ألا تعبر عنها أعداد صحيحة، ومن الطبيعي تصور تمثيلها بأعداد حقيقية، أعداد يمكن أن تتضمن سلسلة طويلة لا نهائية من أعداد إلى يمين العلامة العشرية، أو وحدات بيانات إلى يمين العلامة الثنائية. يرجع الخلاف حول ما إذا كانت هذه الأعداد الحقيقية موجودة أم لا في العالم الواقعي إلى العصور القديمة. إلا أنه ثمة أمر واضح، ألا وهو أننا عندما «نأخذ بيانات»، فإننا «نحتفظ» بالقيم الصحيحة فقط؛ فمثلا إذا قسنا «طول هذه المائدة» ودوناه كالآتي: 1,370، فلا يبدو قياس الطول رقما صحيحا من النظرة الأولى، إلا أنه يمكننا تحويله إلى رقم صحيح بضربه في 1000، ومتى استطعنا قياس أي كمية مثل الطول أو درجة الحرارة بدقة محدودة - وهي الحال دوما عمليا - يمكن تمثيل قياسنا في صورة رقم صحيح. وفي حقيقة الأمر، تجرى قياساتنا حاليا ودوما تقريبا على هذا النحو؛ إذ إننا نجريها ونعالجها باستخدام حاسوب رقمي، وهو الذي يخزن الأعداد «دوما» في صورة أعداد صحيحة، وهو ما يشير إلى وجود نوع من الانفصال بين فكرتنا المادية حول الطول وقياساتنا للطول، وثمة انفصال مشابه بين نماذجنا الرياضية، التي تتعامل مع الأعداد الحقيقية، ونظائرها الحاسوبية، التي لا تتعامل إلا مع الأعداد الصحيحة فقط.

بالطبع لن يقول عالم فيزياء حقيقي إن طول المائدة كان يبلغ 1,370، بل سيقول شيئا آخر من قبيل أن الطول كان يبلغ 1,370 بزيادة أو نقصان 0,005، بهدف تحديد عدم يقينه الذي يرجع إلى التشويش. ينطوي هذا على نموذج للتشويش. تعتبر الأعداد العشوائية المستقاة من المنحنى الجرسي بلا شك أكثر نماذج التشويش شيوعا. ويتعلم المرء إدراج أشياء من قبيل «بزيادة أو نقصان 0,005» بغرض النجاح في مقررات العلوم المدرسية، وهو ما ينظر إليه عادة باعتباره أمرا مزعجا، لكن ماذا يعني هذا حقا؟ ما هي الأشياء التي تقيسها مقاييسنا؟ هل ثمة رقم دقيق يماثل الطول الحقيقي للمائدة أو درجة الحرارة الحقيقية في المطار، لكن شوش عليها التشويش وجرى قطعها عند تسجيلها؟ أو هل الأمر محض خيال، ولا يعتبر الاعتقاد بضرورة وجود عدد دقيق سوى اختلاق علمي؟ أوضحت دراسة الفوضى دور عدم اليقين والتشويش في تقييم نظرياتنا من خلال الإشارة إلى طرق جديدة لبحث إن كانت هذه القيم الحقيقية موجودة أم لا. سنفترض في الوقت الحالي وجود القيمة الحقيقية، وأننا فقط لا نستطيع رؤيتها.

الملاحظات الحقيقية

إذن، ما هي الملاحظة تحديدا؟ تذكر أول سلسلة زمنية، وهي التي كانت تتألف من أعداد شهرية للأرانب في حديقة فيبوناتشي الخيالية. في تلك الحالة، كنا نعرف العدد الإجمالي للأرانب في الحديقة. ولكن في معظم دراسات الديناميكيات السكانية لا نمتلك مثل هذه المعلومات الكاملة. هب على سبيل المثال أننا ندرس مجموعة من فئران الحقول في فنلندا؛ ننصب شراكنا، ونفحصها يوميا، ونطلق سراح الفئران المأسورة، وندون سلسلة زمنية يومية بعدد الفئران التي وقعت في الشراك. يرتبط هذا العدد إلى حد ما بعدد الفئران لكل كيلومتر مربع في فنلندا، لكن كيف يرتبطان على وجه التحديد؟ هب أننا رصدنا اليوم عدد صفر من الفئران في شركنا، فماذا يعني هذا «الصفر»؟ هل يعني عدم وجود أي فئران في هذه الغابة؟ أم عدم وجود أي فئران في الدول الاسكندنافية؟ هل انقرضت الفئران؟ ربما يشير الصفر في شركنا إلى أي من هذه الأشياء أو لا يشير إلى أي منها، وهو ما يشير إلى نوعين متمايزين من عدم اليقين يجب أن نتعامل معهما عندما نربط بين مقاييسنا ونماذجنا. النوع الأول من حالتي عدم اليقين هو التشويش الذي تتعرض له الملاحظات البسيطة، ومثال ذلك هو الخطأ في تعداد الفئران في الشرك، أو اكتشاف امتلاء الشرك، وهو ما يفتح الباب أمام احتمالية إمكانية عد المزيد من الفئران في ذلك اليوم حال استخدامنا لشرك أكبر. يطلق على النوع الثاني من حالتي عدم اليقين «خطأ التمثيل». تتعامل نماذجنا مع كثافة المجموعة السكانية لكل كيلومتر مربع، بيد أننا نقيس عدد الفئران في أحد الشراك؛ لذا لا يمثل قياسنا المتغير الذي تستخدمه نماذجنا. هل يمثل هذا أحد أوجه القصور في النموذج أو القياس؟

إذا قمنا بإدخال العدد الخاطئ إلى نموذجنا، يمكننا توقع الحصول على العدد الخاطئ؛ فما يدخل خطأ يخرج خطأ. يبدو أن نماذجنا تتطلب «نوعا» واحدا من الأعداد، بينما تقدم ملاحظاتنا نسخة مشوشة من نوع آخر من الأعداد. في حالة توقع حالة الطقس حيث يعتقد أن تكون متغيراتنا المستهدفة - مثل درجة الحرارة، والضغط، والرطوبة - أعدادا حقيقية، لا يمكن أن نتوقع أن تعكس ملاحظاتنا القيم الحقيقية على وجه الدقة، وهو ما قد يشير إلى أننا ربما نبحث عن نماذج ذات ديناميكيات «متوافقة» مع ملاحظاتنا، بدلا من اعتبار أن ملاحظاتنا وحالات نماذجنا تمثلان، بصورة أو بأخرى، الشيء نفسه ومحاولة قياس المسافة بين حالة ما مستقبلية لنموذجنا والملاحظة المستهدفة المماثلة. إن هدف التوقع في النظم الخطية هو تقليص هذه المسافة؛ أي تقليص خطأ التوقع. عند إجراء توقع في النظم اللاخطية يصير من المهم التمييز بين أشياء متنوعة ترتبط ارتباطا وثيقا بهذه الكمية، بما في ذلك حالات عدم اليقين في الملاحظة، والتقطع في القياس، والفرق بين نماذجنا الرياضية، ونماذج المحاكاة الحاسوبية لها، وأيا ما كان ما تولد عنه في حقيقة الأمر تلك البيانات. نستعرض أولا ما يحدث عندما نحاول إدخال الديناميكيات إلى الحاسوب الرقمي.

الحاسوب والفوضى

অজানা পৃষ্ঠা