56

فتظل الرياضيات مجالا لإنجازات مستجدة.

ويبدو أن مثل هذا الاعتراض - الذي عرف كوهين كيف يرده - من الآثار التي خلفها منطق أرسطو، ولو تخلصنا من هذا ولفتنا الأنظار شطر المنطق الحديث - الذي سنتوقف عنده تفصيلا في الفصل القادم، والذي أنجب هذا الكشف التحليلي العظيم للرياضيات - لأدركنا أنه حتى القضية «أ» هي «أ» يمكن أن تكون نتيجة مثبتة وليست بديهية؛ فقد كانت هكذا في نسق دوال الصدق التكرارية الذي وضعه رسل،

57

إن هذا المنطق الحديث منطق علاقات، والرياضيات - بأسرها، وبكل جديتها وجدتها - إثبات لعلاقات بين رموز، أو علاقات بين أطراف معادلات؛ هكذا نستطيع أن نسلم بأن الرياضيات بأسرها ليست إلا محصلات منطقية ونتيجة للمنطق.

إن الرياضة محض أداة ولغة فحسب، وليس ثمة لغة أخرى غير الرياضة يمكن أن تصف ظواهر الكون، بمثل هذا الكمال والبساطة والمواءمة والدقة. كانت الرياضيات، منذ أفلاطون وحتى كانط، تعد نسقا من قوانين العقل، يتحكم في العالم التجريبي، واتضح الآن أن الرياضة ليست هكذا، وأنها لا تقيم قوانين للعالم الفيزيائي، إنما تقتصر على صياغة علاقات فارغة تسري على كل عالم ممكن. وعلى المعنيين بالأمر استغلالها أو تطبيقها للتعبير عن عالمنا المتعين، دون أن يعني هذا سحب الضرورة الرياضية على قوانين العالم الفيزيائي.

لقد أثبتت الخاصة التحليلية للرياضيات، وأنها فارغة من المضمون الإخباري بفضل المنطق الرياضي وأقطابه العظام: بيانو وجوتلوب فريجه، ثم رسل ووايتهد وكتابهما العمدة «برنكبيا ماتيماتيكا» الذي ينبغي أن نعده من المعالم البارزة للقرن العشرين. وبطبيعة الحال، عينت بعض المآخذ والقصورات فيه، وخضعت بعض الجوانب لتعديلات وتنقيحات، فظل طوال القرن العشرين وحتى الآن فاعلا ومتطورا، بجهود أنصاره وخصومه معا.

لقد كان تأثير «برنكبيا ماتيماتيكا» في تطور العقل إبان القرن العشرين أكثر جذرية وخطورة، ربما أكثر مما تصور برتراند رسل نفسه. وفي العام 1931م أخرج كورت جودل

K. Gdel (1906-1978م) بحثا بعنوان «حول قضايا غير قابلة للبت صوريا في برنكبيا ماتيماتيكا ومنظومات ذات صلة»، صحيح أن رسل أعلن بعد هذا بسبع سنوات أنه لا يرى ما يدعو لتعديل الأطروحة الأساسية للكتاب وهي أن المنطق والرياضيات متطابقان، إلا أن بحث جودل المذكور حمل تخطيطيا لنظريته في مبرهنتين نالتا حقا من بهاء اليقين الرياضي حين أثبت أنه لا اكتمالا في الأنساق الرياضية. وتعد «نظرية جودل» بدورها من معالم تطور العقل الصوري في القرن العشرين.

برهن جودل في نظريته على أنه في أي نسق صوري يقوم على سلسلة الأعداد الطبيعية التي تبدأ من الصفر، توجد قضية أو صياغة

অজানা পৃষ্ঠা