وسنبين فيما بعد الوجه الذي به نعرف من هذه الأوتار سائر الأوتار الجزئية بعد أن تقدم فنوطئ معني عظيم المنفعة في علمنا هذا. (¬61)

فلتكن دائرة قد رسم فيها ذو أربعة أضلاع @NUM@ ألف @NUM@ باء @NUM@ جيم @NUM@ دال وليوصل خطا @NUM@ ألف @NUM@ جيم ، @NUM@ باء @NUM@ دال .

فينبغي أن نبين أن السطح القائم الزوايا الذي يحيط به خطا @NUM@ ألف @NUM@ جيم ، @NUM@ باء @NUM@ دال مساو للسطح الذي يحيط به خطا @NUM@ ألف @NUM@ باء ، @NUM@ دال @NUM@ جيم وللسطح الذي يحيط به خطا @NUM@ ألف @NUM@ دال ، @NUM@ باء @NUM@ جيم مجموعين. فلنجعل زاوية @NUM@ ألف @NUM@ باء @NUM@ هاء مساوية لزاوية @NUM@ دال @NUM@ باء @NUM@ جيم . فلأن زاوية @NUM@ دال @NUM@ باء @NUM@ جيم مساوية لزاوية @NUM@ ألف @NUM@ باء @NUM@ هاء إن نحن جعلنا زاوية @NUM@ هاء @NUM@ باء @NUM@ دال مشتركة، كانت أيضا زاوية @NUM@ ألف @NUM@ باء @NUM@ دال مساوية لزاوية @NUM@ هاء @NUM@ باء @NUM@ جيم . /T51/ / /H37 وزاوية @NUM@ باء @NUM@ دال @NUM@ ألف مساوية لزاوية @NUM@ باء @NUM@ جيم @NUM@ هاء ، وذلك أنهما يوتران قوسا واحدة. فمثلث @NUM@ باء @NUM@ دال @NUM@ ألف إذا مساوي الزوايا لمثلث @NUM@ باء @NUM@ جيم @NUM@ هاء . فيجب من ذلك أن تكون نسبة خط @NUM@ باء @NUM@ جيم إلي خط @NUM@ جيم @NUM@ هاء كنسبة خط @NUM@ باء @NUM@ دال إلي خط @NUM@ دال @NUM@ ألف . فالسطح إذا الذي يحيط به خطا @NUM@ باء @NUM@ جيم ، @NUM@ ألف @NUM@ دال مساو للسطح الذي يحيط به خطا @NUM@ باء @NUM@ دال ، @NUM@ جيم @NUM@ هاء . وأيضا لأن زاوية @NUM@ ألف @NUM@ باء @NUM@ هاء مساوية لزاوية @NUM@ هاء @NUM@ باء @NUM@ جيم ، وزاوية @NUM@ باء @NUM@ ألف @NUM@ هاء مساوية لزاوية @NUM@ باء @NUM@ دال @NUM@ جيم ، فمثلث @NUM@ ألف @NUM@ باء @NUM@ هاء إذا مساوي الزوايا لمثلث @NUM@ باء @NUM@ جيم @NUM@ دال . فنسبة خط @NUM@ باء @NUM@ ألف إلي خط @NUM@ ألف @NUM@ هاء كنسبة خط @NUM@ باء @NUM@ دال إلي خط @NUM@ دال @NUM@ جيم . فالسطح إذا الذي يحيط به خطا @NUM@ باء @NUM@ ألف ، @NUM@ دال @NUM@ جيم مساو للسطح الذي يحيط به خطا @NUM@ باء @NUM@ دال ، @NUM@ هاء @NUM@ ألف . وقد تبين أن السطح أيضا الذي يحيط به خطا @NUM@ باء @NUM@ جيم ، @NUM@ دال @NUM@ ألف مساو للسطح الذي يحيط به خطا @NUM@ باء @NUM@ دال ، @NUM@ جيم @NUM@ هاء . والسطح إذا بأسره الذي يحيط به خطا @NUM@ ألف @NUM@ جيم ، @NUM@ باء @NUM@ دال مساو للسطح الذي يحيط به خطا @NUM@ ألف @NUM@ باء ، @NUM@ دال @NUM@ جيم وللسطح الذي يحيط به خطا @NUM@ ألف @NUM@ دال ، @NUM@ جيم @NUM@ باء مجموعين. وذلك ما كان ينبغي أن نبينه.

@NUM@ ج : (¬62) فإذ تقدمنا فوضعنا هذا المعني فليكن نصف دائرة /H38/ @NUM@ ألف @NUM@ باء @NUM@ جيم @NUM@ دال علي قطر @NUM@ ألف @NUM@ دال ولنخرج من نقطة @NUM@ ألف خطا @NUM@ ألف @NUM@ باء ، @NUM@ ألف @NUM@ جيم وليكن كل واحد منهما معطي بالمقدار من الأجزاء التي بها القطر معطي. (¬63) وليوصل خط @NUM@ باء @NUM@ جيم ، فأقول إن هذا الخط أيضا معطي. فليوصل خطا @NUM@ باء @NUM@ دال ، @NUM@ جيم @NUM@ دال .

فمن البين أن هذين أيضا معطيان لأنهما وترا القوسين الباقيتين من نصف الدائرة. فلأن في دائرة ذا أربعة أضلاع @NUM@ ألف @NUM@ باء @NUM@ جيم @NUM@ دال ، فالسطح الذي يحيط به خطا @NUM@ ألف @NUM@ باء ، @NUM@ جيم @NUM@ دال مع السطح الذي يحيط به خطا @NUM@ ألف @NUM@ دال ، @NUM@ باء @NUM@ جيم مساو للسطح الذي يحيط به خطا @NUM@ ألف @NUM@ جيم ، @NUM@ باء @NUM@ دال ، والسطح الذي يحيط به خطا @NUM@ ألف @NUM@ باء ، @NUM@ جيم @NUM@ دال معطا. وأيضا فإن السطح الذي يحيط به خطا @NUM@ ألف @NUM@ باء ، @NUM@ جيم @NUM@ دال معطي والقطر أيضا معطي. فخط @NUM@ باء @NUM@ جيم إذن معطي. فقد بان لنا أنا إذا أعطينا قوسين وأعطينا وتريهما، كان وتر الفضل بين القوسين معطي.

صفحة ٧